Теория устойчивости
Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.
правитьПонятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости
правитьРассмотрим задачу Коши:
Её решение единственно и определено . Пусть - решение задачи с возмущенным начальным значением:
Точки покоя
правитьЗаметим, что погрешность является решением задачи Коши где
Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы:
Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами
правитьИсследуется устойчивость точки покоя однородной системы:
В матричной форме:
, - матрица с постоянными коэффициентами.
,
Пусть и если , то
, если
Если , то ;
Пусть точка покоя устойчива по Ляпунову. Докажем, что тогда и
Предположим противное, то есть а) для некоторого s либо б)
а) решение системы
Решение не устойчиво по Ляпунову наше предположение неверно и
б)
- решение задачи
предположение неверно. Теорема доказана.
Простейшие типы точек покоя
править- и вещественны и различны:
- . "устойчивый узел"
- "неустойчивый узел"
- "седло"
- - точка покоя устойчивая
- - точка покоя неустойчива
- и комплексны и различны:
- "устойчивый фокус"
- "неустойчивый фокус"
- "центр" - устойчивая точка покоя
- - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:
- "устойчивый звездный узел"
- "неустойчивый звездный узел"
- покой -
- - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:
- "устойчивый вырожденный узел"
- "неустойчивый вырожденный узел"
- - неизолированная неустойчивая точка покоя
Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.
правитьИсследование на устойчивость по первому приближению
править
. . Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно . Третье слагаемое есть
Следовательно (1) можно преобразовать к виду . Тогда является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении не зависит от .
при
1) Если все собственные значения матрицы удовлетворяют условию , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.
2) Если существуют собственные значения такие что , то точка покоя неустойчива.
Второй метод Ляпунова
править- - шар,
- и
. при .
, .
Предположим, это не так (траектория выходит за -окрестность)
не возрастает для всех
Возьмём
пришли к противоречию.
- является предельной точкой множества
- на
тогда точка покоя системы не устойчива по Ляпунову.
.
-момент, когда траектория впервые выходит на границу
возрастает. .
для
множество ограничено и замкнуто.
,
, но это невозможно, так как траектория внутри шара противоречие.
Теорема Четаева о неустойчивости
править1) имеет в качестве предельной точки
2) . Здесь
Тогда точка покоя системы (1) неустойчива
Вычислим ( - в самый начальный момент растет, но положителен, следовательно производные положительны)
Начальная точка находится в
. . Функция начинает расти.
при
Следовательно тоже должно , но она ограниченна - мы получили противоречие.