Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

править

Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости

править

Рассмотрим задачу Коши:  

Её решение   единственно и определено  . Пусть   - решение задачи с возмущенным начальным значением:  

Определение. Решение   задачи Коши называется устойчивым по Ляпунову, если  


Определение. Решение   задачи Коши называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует   такое, что   и   при  


Точки покоя

править

Заметим, что погрешность   является решением задачи Коши   где  

Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы:  

Определение. Точка покоя   называется устойчивой по Ляпунову, если для любого   и для всякого решения  


Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами

править

Исследуется устойчивость точки покоя однородной системы:

 
Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда   для всех собственных значений матрицы A.

В матричной форме:

 ,   - матрица с постоянными коэффициентами.

 
 
Теорема. Точка покоя системы   была устойчива по Ляпунову     и   отвечали жордановым клеткам размера  
Доказательство.   В формуле   запишем   в виде  

 ,  

 

   

 

Пусть   и если  , то  

 , если  

Если  , то    ;  

  Пусть точка покоя устойчива по Ляпунову. Докажем, что тогда   и  

Предположим противное, то есть а)   для некоторого s либо б)  

а)   решение системы  

 

 

  Решение не устойчиво по Ляпунову   наше предположение неверно и    

б)  

  - решение задачи

 

    предположение неверно. Теорема доказана.


Теорема. Точка покоя системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда   для всех собственных значений матрицы A.

Простейшие типы точек покоя

править
 
"устойчивый узел"
 
  •   и   вещественны и различны:
  •    . "устойчивый узел"
  •   "неустойчивый узел"
     
    неустойчивый узел
  •   "седло"
     
    седло
  •     - точка покоя устойчивая
     
    точка покоя устойчивая
  •     - точка покоя неустойчива
     
    точка покоя неустойчива
  •   и   комплексны и различны:
 
  •     "устойчивый фокус"
     
    устойчивый фокус
  •   "неустойчивый фокус"
     
    неустойчивый фокус
  •   "центр" - устойчивая точка покоя
     
    устойчивая точка покоя
  •   - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:
  •   "устойчивый звездный узел"
     
    устойчивый звездный узел
  •   "неустойчивый звездный узел"
     
    неустойчивый звездный узел
  •   покой -  
     
    неустойчивая точка покоя
  •   - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:
 
  •   "устойчивый вырожденный узел"
     
    устойчивый вырожденный узел
  •   "неустойчивый вырожденный узел"
     
    неустойчивый вырожденный узел
  •   -   неизолированная неустойчивая точка покоя
     
    неизолированная неустойчивая точка покоя

Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

править

Исследование на устойчивость по первому приближению

править

 

 .  . Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно  . Третье слагаемое есть  

Следовательно (1) можно преобразовать к виду  . Тогда   является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении   не зависит от  .

  при  

Теорема. Пусть система ДУ (1) стационарна в первом приближении и пусть выполнено предположение (3). Тогда

1) Если все собственные значения матрицы   удовлетворяют условию  , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

2) Если существуют собственные значения такие что  , то точка покоя неустойчива.

Второй метод Ляпунова

править
Определение. Функция   называется функцией Ляпунова системы  , если обладает следующими свойствами:
  1.   - шар,
  2.   и  
  3.  


Теорема. Если у системы   есть функция Ляпунова, то точка покоя   устойчива по Ляпунову.
Доказательство. Пусть существует функция Ляпунова

 .   при  .

 ,  .

  Предположим, это не так (траектория выходит за  -окрестность)

   

 

 

  не возрастает для всех  

Возьмём  

  пришли к противоречию.  


Теорема. Пусть для системы   существует две функции  , которые обладают следующими свойствами:
  1.  
  2.  
  3.   является предельной точкой множества  
  4.   на  
  5.  

тогда точка покоя системы не устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены, но точка покоя устойчива по Ляпунову.

 .

 

 

 -момент, когда траектория впервые выходит на границу  

 

  возрастает.  .

  для  

 

множество ограничено и замкнуто.

 

 ,  

 

 , но это невозможно, так как траектория внутри шара   противоречие.


Теорема Четаева о неустойчивости

править
Теорема. Пусть для системы   существует функция   заданная и непрерывно дифференцируемая в некоторой   - окрестности начала координат и такая, что

1)   имеет в качестве предельной точки  

2)  . Здесь  

Тогда точка покоя системы (1) неустойчива

Доказательство. Предположим что точка покоя устойчива  

  Вычислим   (   - в самый начальный момент растет, но положителен, следовательно производные положительны)

Начальная точка находится в  

 .  . Функция   начинает расти.

 

  при  

Следовательно   тоже должно  , но она ограниченна - мы получили противоречие.