Уравнения n-го порядка

Определения

Определение. Соотношение $f(x,,y,y',\dots ,y^{(n)})\equiv 0$ - называется обыкновенным ДУ n-го порядка. Оно связывает независимую переменную $x$, искомую функцию $y(x)$ и её производные до n-го порядка.

Определение. Решением ОДУ называется функция $y=\phi (x)$, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, то есть

$F(x,\phi (x),\phi '(x),\dots ,\phi ^{(n)}(x))=0$

Определение. Множество всех решений ДУ называется общим решением: $y=\phi (x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$, $c_{i}$ - константы

Определение. Соотношение $\Phi (x,y)=0$ называется частным интегралом ДУ. $\Phi (x,y,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})=0$ - общий интеграл, если все решения могут быть найдены при соответствующем выборе постоянных c.

(или)

Определение. Если удалось найти связь между $x$ и $y$ вида $F(x,y)=0$, то эта связь называется интегралом ДУ. $f(x,y,c_{1},\dots ,c_{n})=0$ - общий интеграл (каждое решение отличается своим набором констант).