Теорема. (о существовании первообразной в односвязной области)
⊐
D
⊂
C
{\textstyle \sqsupset D\subset \mathbb {C} }
односвязная область'' ,
f
∈
O
(
D
)
{\textstyle f\in O(D)}
'' . Тогда
∃
{\textstyle \exists }
первообразная
F
(
z
)
=
∫
a
z
f
(
ξ
)
d
ξ
+
c
{\textstyle F(z)=\int _{a}^{z}f(\xi )d\xi +c}
, где
∫
a
z
f
(
ξ
)
d
ξ
{\textstyle \int _{a}^{z}f(\xi )d\xi }
интегал по любой спрямляемой кривой из
D
{\textstyle D}
с началом в
a
{\textstyle a}
и концом в
z
{\textstyle z}
.
Доказательство. Интеграл
∫
a
z
f
(
ξ
)
d
ξ
{\textstyle \int _{a}^{z}f(\xi )d\xi }
не зависит от выбора кривой из
D
{\textstyle D}
в силу теоремы Коши. Проверим, что
F
{\textstyle F}
первообразная
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
:
|
F
(
z
)
−
F
(
z
0
)
z
−
z
0
−
f
(
z
0
)
|
=
|
∫
a
z
f
(
ξ
)
d
ξ
−
∫
a
z
0
f
(
ξ
)
d
ξ
z
−
z
0
−
f
(
z
0
)
|
=
|
∫
z
0
z
f
(
ξ
)
d
ξ
z
−
z
0
−
f
(
z
0
)
|
=
{\textstyle \left|{\frac {F(z)-F\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{a}^{z}f(\xi )d\xi -\int _{a}^{z_{0}}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{z_{0}}^{z}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=}
=
|
∫
[
2
0
,
z
]
f
(
ξ
)
d
ξ
z
−
z
0
−
f
(
z
0
)
|
=
|
∫
[
z
0
,
z
]
f
(
ξ
)
d
ξ
z
−
z
0
−
∫
[
z
0
,
z
]
f
(
z
0
)
d
ξ
z
−
z
0
|
=
|
1
z
−
z
0
(
∫
[
z
0
,
z
]
[
f
(
ξ
)
−
f
(
z
0
)
]
d
ξ
)
|
{\textstyle =\left|{\frac {\int _{\left[2_{0},z\right]}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-f\left(z_{0}\right)\right|=\left|{\frac {\int _{\left[z_{0},z\right]}f(\xi )d\xi }{z-z_{0}}}-{\frac {\int _{\left[z_{0},z\right]}f\left(z_{0}\right)d\xi }{z-z_{0}}}\right|=\left|{\frac {1}{z-z_{0}}}\left(\int _{\left[z_{0},z\right]}\left[f(\xi )-f\left(z_{0}\right)\right]d\xi \right)\right|}
f
∈
O
(
D
)
{\textstyle f\in O(D)}
, следовательно,
f
(
ξ
)
=
f
(
z
0
)
+
f
′
(
z
0
)
(
ξ
−
z
0
)
+
o
(
ξ
−
z
0
)
{\textstyle f(\xi )=f\left(z_{0}\right)+f^{\prime }\left(z_{0}\right)\left(\xi -z_{0}\right)+o\left(\xi -z_{0}\right)}
|
1
z
−
z
0
(
∫
[
z
0
,
z
]
[
f
(
ξ
)
−
f
(
z
0
)
]
d
ξ
)
|
≤
1
|
z
−
z
0
|
(
|
f
′
(
z
0
)
|
|
z
−
z
0
|
2
+
ε
|
z
−
z
0
|
2
)
→
0
{\textstyle \left|{\frac {1}{z-z_{0}}}\left(\int _{\left[z_{0},z\right]}\left[f(\xi )-f\left(z_{0}\right)\right]d\xi \right)\right|\leq {\frac {1}{\left|z-z_{0}\right|}}\left(\left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|\left|z-z_{0}\right|^{2}+\varepsilon \left|z-z_{0}\right|^{2}\right)\rightarrow 0}
при
z
→
z
0
{\textstyle z\rightarrow z_{0}}
Значит,
F
′
(
z
)
=
f
(
z
)
{\textstyle F'(z)=f(z)}
.
Задача. По существу ли здесь односвязность? Привести пример неодносвязной области и функции таких, что эта функция голоморфна в этой области, но не имеет в ней первообразной.
Определение. Замыкание
D
:
D
¯
=
D
∪
∂
D
{\textstyle D:{\overline {D}}=D\cup \partial D}
.
Теорема. (общая интегральная теорема Коши, без доказательства)
⊐
D
⊂
C
{\textstyle \sqsupset D\subset \mathbb {C} }
односвязная область,
∂
D
{\textstyle \partial D}
замкнутая спрямляемая кривая,
f
∈
O
(
D
)
∩
C
(
D
¯
)
{\textstyle f\in O(D)\cap C({\overline {D}})}
. Тогда
∫
∂
D
f
(
z
)
d
z
=
0
{\textstyle \int _{\partial D}f(z)dz=0}
.
Теорема. (Коши для составного контура):
⊐
Γ
=
Γ
0
∪
Γ
1
∪
…
∪
Γ
n
{\textstyle \sqsupset \Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}}
'' ,где
Γ
0
,
Γ
1
,
…
,
Γ
n
{\textstyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n}}
жордановы замкнутые кривые,
Γ
j
∈
Int
Γ
0
∀
j
=
1
,
…
,
n
{\textstyle \Gamma _{j}\in \operatorname {Int} \Gamma _{0}\quad \forall j=1,\dots ,n}
,
Int
Γ
j
¯
∩
Int
Γ
k
¯
=
∅
∀
j
≠
k
,
j
,
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
f
∈
O
(
Int
Γ
)
∩
C
(
Int
Γ
¯
)
{\textstyle {\overline {\operatorname {Int} \Gamma _{j}}}\cap {\overline {\operatorname {Int} \Gamma _{k}}}=\emptyset \quad \forall j\neq k,\quad j,k\in \{1,\ldots ,n\},\quad f\in O(\operatorname {Int} \Gamma )\cap C({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }})}
. Тогда
∫
Γ
=
Γ
0
∪
Γ
1
−
∪
…
∪
Γ
n
−
f
(
z
)
d
z
=
0
{\textstyle \int _{\Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}^{-}}f(z)dz=0}
Доказательство.
Соединим
Γ
0
,
Γ
1
,
…
,
Γ
n
{\textstyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n}}
перемычками
Δ
1
,
…
,
Δ
n
{\textstyle \Delta _{1},\dots ,\Delta _{n}}
,чтобы перемычки не пересекались и получилась односвязная область
D
′
=
Int
Γ
∖
(
Δ
1
∪
…
∪
Δ
n
)
{\textstyle D^{\prime }=\operatorname {Int} \Gamma \backslash \left(\Delta _{1}\cup \ldots \cup \Delta _{n}\right)}
.
Δ
j
{\textstyle \Delta _{j}}
ломаная,соединяющая точку на
Γ
j
−
1
{\textstyle \Gamma _{j-1}}
с точкой на
Γ
j
{\textstyle \Gamma _{j}}
и
Δ
j
{\textstyle \Delta _{j}}
, вся, кроме концов, лежит в
Int
Γ
{\textstyle \operatorname {Int} \Gamma }
. Значит, по предыдущей теореме
∫
∂
D
f
(
z
)
d
z
=
0
=
∫
Γ
0
f
(
z
)
d
z
+
∫
Γ
1
−
f
(
z
)
d
z
+
⋯
+
∫
Γ
n
−
f
(
z
)
d
z
+
{\textstyle \int _{\partial D}f(z)dz=0=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\int _{\Gamma _{1}^{-}}f(z)dz+\cdots +\int _{\Gamma _{n}^{-}}f(z)dz\;+\;}
интегралы по перемычкам, проходимым и в том, и другом направлении (и, соответственно, сокращающиеся).
0
=
∫
Γ
0
f
(
z
)
d
z
+
∫
Γ
1
−
f
(
z
)
d
z
+
⋯
+
∫
Γ
n
−
f
(
z
)
d
z
=
∫
Γ
f
(
z
)
d
z
{\textstyle 0=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\int _{\Gamma _{1}^{-}}f(z)dz+\cdots +\int _{\Gamma _{n}^{-}}f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz}
Теорема. (интегральная формула Коши)
⊐
Γ
=
Γ
0
∪
Γ
1
−
∪
…
∪
Γ
n
−
{\textstyle \sqsupset \Gamma =\Gamma _{0}\cup \Gamma _{1}^{-}\cup \ldots \cup \Gamma _{n}^{-}}
составной жорданов спрямляемый контур,
f
∈
O
(
Int
Γ
)
∩
C
(
Int
Γ
¯
)
.
{\textstyle f\in O(\operatorname {Int} \Gamma )\cap C({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }}).}
Тогда
∀
z
∈
Int
Γ
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
Γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
{\textstyle \forall z\in \operatorname {Int} \Gamma \quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }
.
Доказательство. Возьмём фиксированное
z
∈
Int
Γ
z
∈
Int
Γ
{\textstyle z\in \operatorname {Int} \Gamma z\in \operatorname {Int} \Gamma }
и кривую
γ
{\textstyle \gamma }
:
γ
=
{
ξ
:
|
ξ
−
z
|
<
r
}
,
{
|
ξ
−
z
|
≤
r
}
⊂
Int
Γ
{\textstyle \gamma =\{\xi :|\xi -z|<r\}\mathrm {,} \{|\xi -z|\leq r\}\subset \operatorname {Int} \Gamma }
∫
Γ
∪
γ
−
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
0
{\textstyle \int _{\Gamma \cup \gamma ^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}
(по предыдущей теореме, так как
f
(
ξ
)
ξ
−
z
∈
O
(
Int
(
Γ
∪
γ
−
)
)
,
f
∈
O
(
Int
Γ
¯
)
{\textstyle {\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\in O\left(\operatorname {Int} \left(\Gamma \cup \gamma ^{-}\right)\right),f\in O({\overline {\operatorname {Int} \Gamma }})}
∫
Γ
∪
γ
−
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
∫
Γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
−
∫
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
0
{\textstyle \int _{\Gamma \cup \gamma ^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int {\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}
∫
Γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
∫
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
{\textstyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }
∫
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
−
2
π
i
f
(
z
)
=
∫
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
−
∫
y
d
ξ
ξ
−
z
f
(
z
)
=
∫
γ
f
(
ξ
)
−
f
(
z
)
ξ
−
z
d
ξ
≤
2
π
r
max
|
ξ
−
z
|
±
r
|
f
(
ξ
)
−
f
(
z
)
|
r
=
{\textstyle \int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -2\pi if(z)=\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int _{y}{\frac {d\xi }{\xi -z}}f(z)=\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \leq {\frac {2\pi r\max _{|\xi -z|\pm r}|f(\xi )-f(z)|}{r}}=}
=
2
π
max
|
ξ
−
z
|
=
r
|
f
(
ξ
)
−
f
(
z
)
|
→
0
,
r
→
0
{\textstyle =2\pi \max _{|\xi -z|=r}|f(\xi )-f(z)|\rightarrow 0{\text{, }}r\rightarrow 0}
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
Γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
{\textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }
Isbur (обсуждение ) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)