Определение.
f
:
u
(
z
0
)
→
C
{\textstyle f:u\left(z_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} }
называется
C
{\textstyle \mathbb {C} }
дифференцируемой в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
, если
∃
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
f
′
(
z
0
)
{\textstyle \exists \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}}=f^{\prime }\left(z_{0}\right)}
.
Пример.
f
(
z
)
=
z
n
;
lim
Δ
z
→
0
(
z
0
+
Δ
z
)
n
−
z
0
n
Δ
z
=
lim
Δ
z
→
0
Δ
z
(
(
z
0
+
Δ
z
)
n
−
1
+
⋯
+
z
0
n
−
1
)
Δ
z
=
n
z
0
n
−
1
{\textstyle f(z)=z^{n};\quad \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\left(z_{0}+\Delta z\right)^{n}-z_{0}^{n}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\Delta z\left(\left(z_{0}+\Delta z\right)^{n-1}+\cdots +z_{0}^{n-1}\right)}{\Delta z}}=nz_{0}^{n-1}}
Пример.
f
(
z
)
=
z
¯
;
lim
Δ
Z
→
0
z
0
+
Δ
z
¯
−
z
0
¯
Δ
z
=
lim
Δ
z
→
0
Δ
z
¯
Δ
z
{\textstyle f(z)={\overline {z}};\lim _{\Delta Z\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}+\Delta z}}-{\overline {z_{0}}}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}}
Этот предел не существует, так как если брать
Δ
z
{\textstyle \Delta z}
вида
Δ
z
=
Δ
x
{\textstyle \Delta z=\Delta x}
, то есть только действительная часть, то
lim
Δ
z
→
0
Δ
z
¯
Δ
z
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
x
Δ
x
=
1
{\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1}
;
если брать
Δ
z
{\textstyle \Delta z}
вида
Δ
z
=
i
Δ
y
{\textstyle \Delta z=i\Delta y}
, то
lim
Δ
z
→
0
Δ
z
¯
Δ
z
=
lim
Δ
y
→
0
−
i
Δ
y
i
Δ
y
=
−
1
{\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {-i\Delta y}{i\Delta y}}=-1}
.
Определение.
⊐
z
=
x
+
i
y
,
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\textstyle \sqsupset z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}
.
f
{\textstyle f}
называется
R
{\textstyle \mathbb {R} }
-дифференцируемой в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
, если:
{
u
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
u
(
x
0
,
y
0
)
=
a
Δ
x
+
b
Δ
y
+
o
(
Δ
x
2
+
Δ
y
2
)
v
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
v
(
x
0
,
y
0
)
=
c
Δ
x
+
d
Δ
y
+
o
(
Δ
x
2
+
Δ
y
2
)
{\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-u\left(x_{0},y_{0}\right)=a\Delta x+b\Delta y+o\left({\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right)}\\{v\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-v\left(x_{0},y_{0}\right)=c\Delta x+d\Delta y+o\left({\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right)}\end{array}}\right.}
Теорема.
⊐
f
=
u
+
i
v
:
u
(
z
0
)
→
C
,
{\textstyle \sqsupset f=u+iv:u\left(z_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} ,}
''
f
{\textstyle f}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
тогда и только тогда, когда:
f
{\textstyle f}
R
{\textstyle \mathbb {R} }
-дифференцируема в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
;
выполняются условия Коши Римана:
{
u
x
(
z
0
)
=
v
y
(
z
0
)
u
y
(
z
0
)
=
−
v
x
(
z
0
)
{\textstyle \left\{{\begin{array}{c}{u_{x}\left(z_{0}\right)=v_{y}\left(z_{0}\right)}\\{u_{y}\left(z_{0}\right)=-v_{x}\left(z_{0}\right)}\end{array}}\right.}
Доказательство.
f
{\textstyle f}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема тогда и только тогда, когда
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
=
f
′
(
z
0
)
Δ
z
+
o
(
Δ
z
)
(
Δ
z
→
0
)
{\textstyle f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)=f^{\prime }\left(z_{0}\right)\Delta z+o(\Delta z)(\Delta z\rightarrow 0)}
u
(
z
0
+
Δ
z
)
−
u
(
z
0
)
+
i
(
v
(
z
0
+
Δ
z
)
−
v
(
z
0
)
)
=
(
a
+
i
b
)
(
Δ
x
+
i
Δ
y
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
{\textstyle u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)=(a+ib)(\Delta x+i\Delta y)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
Следовательно:
{
u
(
z
0
+
Δ
z
)
−
u
(
z
0
)
=
a
Δ
x
−
b
Δ
y
+
o
(
x
2
+
y
2
)
v
(
z
0
+
Δ
z
)
−
v
(
z
0
)
=
b
Δ
x
+
a
Δ
y
+
o
(
x
2
+
y
2
)
{\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)=a\Delta x-b\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\\{v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)=b\Delta x+a\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\end{array}}\right.}
Видно,что:
u
x
(
z
0
)
=
a
,
u
y
(
z
0
)
=
−
b
,
v
x
(
z
0
)
=
b
,
v
y
(
z
0
)
=
a
{\textstyle u_{x}\left(z_{0}\right)=a,u_{y}\left(z_{0}\right)=-b,v_{x}\left(z_{0}\right)=b,v_{y}\left(z_{0}\right)=a}
,
то есть:
{
u
x
(
z
0
)
=
v
y
(
z
0
)
u
y
(
z
0
)
=
−
v
x
(
z
0
)
{\textstyle \left\{{\begin{array}{c}{u_{x}\left(z_{0}\right)=v_{y}\left(z_{0}\right)}\\{u_{y}\left(z_{0}\right)=-v_{x}\left(z_{0}\right)}\end{array}}\right.}
Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируемости)
Возьмём функцию
f
=
u
+
i
v
{\textstyle f=u+iv}
,где
u
{\textstyle u}
функция, на действительной и мнимой осях равная
1
{\textstyle 1}
, а вне их равная
0
{\textstyle 0}
, а
v
≡
0
{\textstyle v\equiv 0}
. Возьмём точку
z
0
=
0
{\textstyle z_{0}=0}
:
{
v
x
(
0
)
=
0
v
y
(
0
)
=
0
u
x
(
0
)
=
0
u
y
(
0
)
=
0
{\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{v_{x}(0)=0}\\{v_{y}(0)=0}\\{u_{x}(0)=0}\\{u_{y}(0)=0}\end{array}}\right.}
Условия КошиРимана выполняются, но
f
{\textstyle f}
не
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема, так как разрывна.
Замечание.
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируемость в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
влечёт за собой непрерывность в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
.
(
f
±
g
)
′
=
f
′
±
g
′
{\textstyle {(f\pm g)^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }}}
(
α
f
)
′
=
α
f
′
{\textstyle {(\alpha f)^{\prime }=\alpha f^{\prime }}}
(
g
f
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\textstyle (gf)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }}
(
f
g
)
=
f
g
−
g
f
g
2
{\textstyle {\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {fg-gf}{g^{2}}}}}
(
f
(
g
(
z
0
)
)
)
=
f
′
(
g
(
z
0
)
)
g
′
(
z
0
)
{\textstyle {\left(f\left(g\left(z_{0}\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(z_{0}\right)\right)g^{\prime }\left(z_{0}\right)}}
(
f
−
1
)
(
z
0
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
z
0
)
)
{\textstyle {\left(f^{-1}\right)\left(z_{0}\right)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(z_{0}\right)\right)}}}}
Пример. Рассмотрим функцию
e
Z
{\textstyle e^{Z}}
:
e
z
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\textstyle e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
{
u
=
e
x
cos
y
v
=
e
x
sin
y
{\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u=e^{x}\cos y}\\{v=e^{x}\sin y}\end{array}}\right.}
R
{\textstyle \mathbb {R} }
- дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:
u
x
=
e
x
cos
y
=
v
y
u
y
=
−
e
x
sin
y
=
−
v
x
{\textstyle {\begin{aligned}u_{x}=&e^{x}\cos y=v_{y}\\u_{y}=&-e^{x}\sin y=-v_{x}\end{aligned}}}
Итак, экспонента
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема. Найдём её производную
(
e
z
)
′
(
z
0
)
=
lim
Δ
z
→
0
e
z
0
+
Δ
z
−
e
z
0
Δ
z
{\textstyle \left(e^{z}\right)^{\prime }\left(z_{0}\right)=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}}
.
Экспонента
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению
Δ
z
=
Δ
x
{\textstyle \Delta z=\Delta x}
:
lim
Δ
z
→
0
e
z
0
+
Δ
z
−
e
z
0
Δ
z
=
lim
Δ
x
→
0
e
z
0
+
Δ
z
−
e
z
0
Δ
z
=
∂
e
z
∂
x
=
e
x
0
(
cos
y
0
+
i
sin
y
0
)
=
e
z
0
{\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}={\frac {\partial e^{z}}{\partial x}}=e^{x_{0}}\left(\cos y_{0}+i\sin y_{0}\right)=e^{z_{0}}}
Значит,
(
e
z
)
′
=
e
z
{\textstyle \left(e^{z}\right)^{\prime }=e^{z}}
, и, вообще, если
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
, то
f
′
(
z
0
)
=
∂
f
∂
x
(
z
0
)
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
{\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\left(z_{0}\right)=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(z_{0}\right)}
Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:
(
sin
z
)
′
=
(
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
)
′
=
i
e
i
z
+
i
e
−
i
z
2
i
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
=
cos
z
(
cos
z
)
′
=
(
e
i
z
+
e
−
i
z
2
)
=
i
e
i
z
−
i
e
−
i
z
2
=
−
e
i
z
+
e
−
i
z
2
i
=
−
sin
z
{\textstyle {\begin{aligned}(\sin z)^{\prime }&=\left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\right)^{\prime }={\frac {ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=\cos z\\(\cos z)^{\prime }&=\left({\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\right)={\frac {ie^{iz}-ie^{-iz}}{2}}={\frac {-e^{iz}+e^{-iz}}{2i}}=-\sin z\end{aligned}}}
Пример. (Функция, которая
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)
f
(
z
)
=
{
e
−
1
z
4
,
z
≠
0
0
,
z
=
0
f
(
x
)
=
e
−
1
x
4
f
x
(
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
e
−
1
Δ
x
4
Δ
x
=
0
{\textstyle {\begin{array}{c}{f(z)=\left\{{\begin{array}{c}{e^{-{\frac {1}{z^{4}}}},\quad z\neq 0}\\{0,\quad z=0}\end{array}}\right.}\\{f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{4}}}}}\\{f_{x}(0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{\Delta x^{4}}}}}{\Delta x}}=0}\end{array}}}
Значит,
u
x
=
v
x
=
0
f
(
i
y
)
=
e
−
1
y
4
f
y
(
0
)
=
lim
Δ
y
→
0
e
−
1
Δ
y
4
Δ
y
=
0
{\textstyle {\begin{array}{c}{u_{x}=v_{x}=0}\\{f(iy)=e^{-{\frac {1}{y^{4}}}}}\\{f_{y}(0)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{\Delta y^{4}}}}}{\Delta y}}=0}\end{array}}}
Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства):
⊐
D
{\textstyle \sqsupset D}
область,
f
:
D
→
C
{\textstyle f:D\rightarrow \mathbb {C} }
непрерывна в
D
{\textstyle D}
и удовлетворяет условиям Коши Римана в
D
{\textstyle D}
. Тогда
f
{\textstyle f}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема в
D
{\textstyle D}
.
Условия Коши-Римана в комплексной форме
править
⊐
f
=
u
+
i
v
{\textstyle \sqsupset f=u+iv}
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
=
u
(
z
0
+
Δ
z
)
−
u
(
z
0
)
+
i
(
v
(
z
0
+
Δ
z
)
−
v
(
z
0
)
)
{\textstyle f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)=u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)}
u
(
z
0
+
Δ
z
)
−
u
(
z
0
)
+
i
(
v
(
z
0
+
Δ
z
)
−
v
(
z
0
)
)
=
u
x
Δ
x
+
u
y
Δ
y
+
o
(
x
2
+
y
2
)
+
i
(
v
x
Δ
x
+
v
y
Δ
y
+
+
o
(
x
2
+
y
2
)
)
=
u
x
Δ
z
+
Δ
z
¯
2
+
u
y
Δ
z
−
Δ
z
¯
2
i
+
i
(
v
x
Δ
z
+
Δ
z
¯
2
+
v
y
Δ
z
−
Δ
z
¯
2
i
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
=
{\textstyle {\begin{array}{l}{u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)=u_{x}\Delta x+u_{y}\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)+i\left(v_{x}\Delta x+v_{y}\Delta y+\right.}\\{+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right))=u_{x}{\frac {\Delta z+{\overline {\Delta z}}}{2}}+u_{y}{\frac {\Delta z-{\overline {\Delta z}}}{2i}}+i\left(v_{x}{\frac {\Delta z+{\overline {\Delta z}}}{2}}+v_{y}{\frac {\Delta z-{\overline {\Delta z}}}{2i}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=}\end{array}}}
=
Δ
z
2
(
u
x
−
i
u
y
+
i
v
x
+
v
y
)
+
Δ
z
¯
2
(
u
x
+
i
u
y
+
i
v
x
−
v
y
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
=
Δ
z
2
(
u
x
+
i
v
x
−
i
(
u
y
+
i
v
y
)
)
+
+
Δ
z
¯
2
(
u
x
+
i
v
x
+
i
(
u
y
+
i
v
y
)
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
=
Δ
z
1
2
(
∂
f
∂
x
−
i
∂
f
∂
y
)
+
Δ
z
¯
1
2
(
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
{\textstyle {\begin{array}{l}{={\frac {\Delta z}{2}}\left(u_{x}-iu_{y}+iv_{x}+v_{y}\right)+{\frac {\overline {\Delta z}}{2}}\left(u_{x}+iu_{y}+iv_{x}-v_{y}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)={\frac {\Delta z}{2}}\left(u_{x}+iv_{x}-i\left(u_{y}+iv_{y}\right)\right)+}\\{+{\frac {\overline {\Delta z}}{2}}\left(u_{x}+iv_{x}+i\left(u_{y}+iv_{y}\right)\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\Delta z{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+{\overline {\Delta z}}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\end{array}}}
Введём такие обозначения:
∂
f
∂
z
=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
i
∂
f
∂
y
)
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
)
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}
Δ
z
1
2
(
∂
f
∂
x
−
i
∂
f
∂
y
)
+
Δ
z
¯
1
2
(
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
)
+
o
(
x
2
+
y
2
)
=
∂
f
∂
z
Δ
z
+
∂
f
∂
z
¯
Δ
z
¯
+
o
(
x
2
+
y
2
)
{\textstyle \Delta z{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+{\overline {\Delta z}}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial z}}\Delta z+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\overline {\Delta z}}+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
Запишем производную
f
{\textstyle f}
:
∂
f
∂
z
=
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
lim
Δ
z
→
0
∂
f
∂
z
Δ
z
+
∂
f
∂
z
¯
Δ
z
¯
+
o
(
x
2
+
y
2
)
Δ
z
=
∂
f
∂
z
+
lim
Δ
z
→
0
(
∂
f
∂
z
¯
Δ
z
¯
Δ
z
)
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial z}}\Delta z+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\overline {\Delta z}}+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\Delta z}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+\lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)}
lim
Δ
z
→
0
(
∂
f
∂
z
¯
Δ
z
¯
Δ
z
)
=
0
{\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)=0}
lim
Δ
z
→
0
(
Δ
z
¯
Δ
z
)
{\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)}
не существует, поэтому это возможно только если
∂
f
∂
Z
¯
=
0
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {Z}}}}=0}
. Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}
∂
f
∂
Z
¯
=
1
2
(
f
x
+
i
f
y
)
=
0
{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {Z}}}}={\frac {1}{2}}\left(f_{x}+if_{y}\right)=0}
f
x
=
−
i
f
y
u
x
+
i
v
x
=
−
i
(
u
y
+
i
v
y
)
u
x
+
i
v
x
=
v
y
−
i
u
y
v
x
=
−
u
y
v
x
=
−
u
y
{\textstyle {\begin{array}{c}{f_{x}=-if_{y}}\\{u_{x}+iv_{x}=-i\left(u_{y}+iv_{y}\right)}\\{u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}}\\{\quad \quad v_{x}=-u_{y}}\\{\quad v_{x}=-u_{y}}\end{array}}}
Голоморфность в бесконечности
править
Определение.
⊐
f
:
u
(
z
0
)
→
C
¯
,
f
(
z
0
)
=
∞
{\textstyle \sqsupset f:u\left(z_{0}\right)\rightarrow {\overline {\mathbb {C} }},f\left(z_{0}\right)=\infty }
.
f
∈
O
(
z
0
)
{\textstyle f\in O(z_{0})}
, если
1
f
∈
O
(
z
0
)
{\textstyle {\frac {1}{f}}\in O\left(z_{0}\right)}
Пример.
f
(
z
)
=
1
z
{\textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}
в точке
z
0
=
0
{\textstyle z_{0}=0}
.
1
f
(
z
)
=
z
{\textstyle {\frac {1}{f(z)}}=z}
голоморфна в точке
z
0
=
0
{\textstyle z_{0}=0}
, значит, и
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
голоморфна в точке
0
{\textstyle 0}
.
Определение.
f
:
u
(
∞
)
→
C
¯
{\textstyle f:u(\infty )\rightarrow {\overline {\mathbb {C} }}}
называется голоморфной в бесконечности, если
f
(
1
z
)
∈
O
(
0
)
{\textstyle f\left({\frac {1}{z}}\right)\in O(0)}
. Голоморфность
f
{\textstyle f}
в бесконечности обозначается:
f
(
z
)
∈
O
(
∞
)
{\textstyle f(z)\in O(\infty )}
.
Пример.
f
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
{\textstyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
f
(
∞
)
=
a
c
,
f
(
1
z
)
=
a
+
b
z
c
+
d
z
∈
O
(
0
)
{\textstyle f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {a+bz}{c+dz}}\in O(0)}
, значит,
f
(
z
)
∈
O
(
∞
)
{\textstyle f(z)\in O(\infty )}
Пример.
f
(
z
)
=
z
{\textstyle f(z)=z}
f
(
∞
)
=
∞
,
f
(
1
z
)
=
1
z
∈
O
(
0
)
{\textstyle f(\infty )=\infty ,\quad f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{z}}\in O(0)}
, значит,
f
(
z
)
∈
O
(
∞
)
{\textstyle f(z)\in O(\infty )}
Конформность голоморфных отображений
править
Определение.
⊐
f
=
u
+
i
v
:
u
(
z
0
=
x
0
+
i
y
0
)
→
C
,
f
{\textstyle \sqsupset f=u+iv:u\left(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} ,f}
–
R
{\textstyle \mathbb {R} }
-дифференцируема в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
.
f
{\textstyle f}
конформна в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
, если дифференциал
f
{\textstyle f}
обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби
J
=
(
u
x
u
y
v
x
v
y
)
{\textstyle J=\left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)}
ортогональная матрица с положительным определителем.
Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.
Утверждение.
f
{\textstyle f}
конформно в точке
z
0
⟺
f
{\textstyle z_{0}\Longleftrightarrow f}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема в точке
z
0
{\textstyle z_{0}}
и
f
′
(
z
0
)
≠
0
{\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)\neq 0}
.
Доказательство.
f
{\textstyle f}
конформно в точке
z
0
⟺
{\textstyle z_{0}\Longleftrightarrow }
f
{\textstyle f}
R
{\textstyle \mathbb {R} }
-дифференцируема
(
u
x
u
y
v
x
v
y
)
=
(
a
−
b
b
a
)
{\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}
a
2
+
b
2
≠
0
{\textstyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
(
u
x
u
y
v
x
v
y
)
=
(
a
−
b
b
a
)
{\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}
⟺
{\textstyle \Longleftrightarrow }
выполняются условия Коши Римана
⟺
{\textstyle \Longleftrightarrow }
f
{\textstyle f}
C
{\textstyle \mathbb {C} }
-дифференцируема
u
x
2
+
v
x
2
≠
0
{\textstyle u_{x}^{2}+v_{x}^{2}\neq 0}
|
f
′
(
z
0
)
|
=
|
f
x
(
z
0
)
|
=
|
u
x
+
i
v
x
|
=
u
x
2
+
v
x
2
≠
0
{\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|=\left|f_{x}\left(z_{0}\right)\right|=\left|u_{x}+iv_{x}\right|=u_{x}^{2}+v_{x}^{2}\neq 0}
Значит,
|
f
′
(
z
0
)
|
≠
0
{\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|\neq 0}
и
f
′
(
z
0
)
≠
0
{\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)\neq 0}
.
Геометрический смысл производной
править
|
f
′
(
z
0
)
|
{\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|}
коэффициент растяжения бесконечно малых векторов
arg
f
′
(
z
0
)
{\textstyle \arg f'\left(z_{0}\right)}
угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора
Определение.
f
{\textstyle f}
голоморфна в области
D
{\textstyle D}
⟺
{\textstyle \Longleftrightarrow }
f
∈
O
(
D
)
{\textstyle f\in O(D)}
,
∀
z
∈
D
:
f
′
(
z
)
≠
0
{\textstyle \forall z\in D:f^{\prime }(z)\neq 0}
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
конформна в точке
z
{\textstyle z}
.
В
R
2
{\textstyle \mathbb {R} ^{2}}
много конформных отображений.
Теорема. (Лиувилль, без доказательства)
⊐
f
{\textstyle \sqsupset f}
область в
R
n
{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}
,
n
≥
3
,
f
:
D
→
R
n
{\textstyle n\geq 3,f:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
конформна в любой точке из
D
{\textstyle D}
. Тогда
f
{\textstyle f}
является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.