Комплексный анализ I/Билеты/Комплексная производная

Дифференцируемость

править

Определение.   называется   дифференцируемой в точке  , если  .

Пример.  

Пример.  

Этот предел не существует, так как если брать   вида  , то есть только действительная часть, то  ;

если брать   вида  , то  .

Определение.  .   называется  -дифференцируемой в точке  , если:

 

Теорема.  ''   -дифференцируема в точке   тогда и только тогда, когда:

  1.    -дифференцируема в точке  ;
  2. выполняются условия Коши Римана:

 

Доказательство.    -дифференцируема тогда и только тогда, когда  

 

Следовательно:

 

Видно,что:

 ,

то есть:

 

Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет  -дифференцируемости)

Возьмём функцию  ,где   функция, на действительной и мнимой осях равная  , а вне их равная  , а  . Возьмём точку  :

 

Условия КошиРимана выполняются, но   не  -дифференцируема, так как разрывна.

Замечание.  -дифференцируемость в точке   влечёт за собой непрерывность в точке   .

Правила дифференцирования

править
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Пример. Рассмотрим функцию  :

 

 

 -дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:

 

Итак, экспонента  -дифференцируема. Найдём её производную  .

Экспонента  -дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению  :

 

Значит,  , и, вообще, если    -дифференцируема в точке  , то  

Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:

 

Пример. (Функция, которая  -дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)

 

Значит,

 

Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства):   область,   непрерывна в   и удовлетворяет условиям Коши Римана в  . Тогда    -дифференцируема в  .

Условия Коши-Римана в комплексной форме

править

 

 

 

 

Введём такие обозначения:

 

 

 

Запишем производную  :

 

 

  не существует, поэтому это возможно только если  . Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.

 

 

 

Голоморфные функции

править

Определение.   называется голоморфной (аналитической) в точке  , если она  -дифференцируема в точке  .

Определение.  , определённая в области  , называется голоморфной (аналитической) в области  , если она  -дифференцируема во всех точках  . Голоморфность в области   обозначается так:   или  .

Утверждение.   область,   и  .

Тогда  

Доказательство. *пока нет*

Голоморфность в бесконечности

править

Определение.  .  , если  

Пример.   в точке  .   голоморфна в точке  , значит, и   голоморфна в точке  .

Определение.   называется голоморфной в бесконечности, если  . Голоморфность   в бесконечности обозначается:  .

Пример.  

 , значит,  

Пример.  

 , значит,  

Конформность голоморфных отображений

править

Определение.    -дифференцируема в точке  .   конформна в точке  , если дифференциал   обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби   ортогональная матрица с положительным определителем.

Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.

Утверждение.   конформно в точке    -дифференцируема в точке   и  .

Доказательство.   конформно в точке  

  1.    -дифференцируема
  2.  
  3.  

   выполняются условия Коши Римана  

  1.    -дифференцируема
  2.  

 

Значит,   и  .

Геометрический смысл производной

править

  коэффициент растяжения бесконечно малых векторов

  угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора

Определение.   голоморфна в области     ,     конформна в точке  .

В   много конформных отображений.

Теорема. (Лиувилль, без доказательства)

  область в  ,   конформна в любой точке из  . Тогда   является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.