Определение. , если , где полюсы, и их не более чем счётное число.
Примечание. В дальнейшем считаем, что
Рассмотрим функции , то есть главные части рядов Лорана в полюсах . Зададимся вопросом: верно ли, что ?
Рассмотрим случаи:
1) полюсов конечное число: (какой то из них может быть равен )
ограничена на .
Cледовательно, по теореме Лиувилля, . Мы получили, что .
Утверждение. рациональная функция, и
2) полюсов бесконечное число:
Лемма. замкнутый спрямляемый жорданов контур, на котором нет . Тогда
Доказательство.
По интегральной формуле Коши:
Осталось доказать, что
имеет особые точки и ещё точку .
По теореме о вычете в бесконечности:
Нам нужен коэффициент при из ряда Лорана на бесконечности.
Получается, что коэффициент при .
Следствие. простые спрямляемые жордановы контуры:
а) на нет полюсов;
б)
в) на
Тогда и ряд равномерно сходится на .
Пример.
Применим следствие из леммы:
, так как чётная функция; значит,
Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)