Теорема. (Классификация изолированных особых точек)
Изолированная особая точка называется:
1) Устранимой'' , если
∃
lim
z
→
a
f
(
z
)
∈
C
{\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} }
, либо если
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
2) Полюсом
N
{\textstyle N}
-го порядка'' , если
∃
lim
z
→
a
f
(
z
)
∈
∞
{\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \infty }
, либо если
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
N
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
3) Существенно особой'' , если
∄
lim
z
→
a
f
(
z
)
{\textstyle \not \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)}
, либо если
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
Доказательство.
1)
⊐
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle \sqsupset f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
. Тогда
∃
lim
z
→
a
f
(
z
)
=
lim
z
→
a
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
=
C
0
∈
C
{\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}=C_{0}\in \mathbb {C} }
2)
⊐
∃
lim
z
→
a
f
(
z
)
∈
C
{\textstyle \sqsupset \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} }
. Тогда
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
ограничена в некоторой окрестности точки
a
:
|
f
(
z
)
|
<
M
{\textstyle a:|f(z)|<M}
Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями
n
<
0
{\textstyle n<0}
, тогда, по неравенству Коши,
|
C
n
|
<
M
ρ
n
=
M
ρ
−
n
{\textstyle \left|C_{n}\right|<{\frac {M}{\rho ^{n}}}=M\rho ^{-n}}
.
Устремим
ρ
{\textstyle \rho }
к нулю, тогда
M
ρ
−
n
→
0
{\textstyle M\rho ^{-n}\rightarrow 0}
(так как
n
<
0
{\textstyle n<0}
). Значит,
|
C
n
|
→
0
{\textstyle \left|C_{n}\right|\rightarrow 0}
, следовательно,все
C
n
=
0
{\textstyle C_{n}=0}
при
n
=
−
1
,
−
2
,
…
{\textstyle n=-1,-2,\dots }
3)
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
N
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
=
(
z
−
a
)
−
N
(
C
−
N
+
C
−
N
+
1
(
z
−
a
)
+
⋯
)
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}=(z-a)^{-N}\left(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots \right)}
, где
C
−
N
≠
0
{\textstyle C_{-N}\neq 0}
. Посчитаем предел
lim
z
→
a
f
(
z
)
=
lim
z
→
a
(
(
z
−
a
)
−
N
(
C
−
N
+
C
−
N
+
1
(
z
−
a
)
+
⋯
)
)
=
∞
{\textstyle \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}\left((z-a)^{-N}\left(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots \right)\right)=\infty }
4)
lim
z
→
a
f
(
z
)
=
∞
⇒
∃
u
˙
(
a
)
:
∀
z
∈
u
˙
(
a
)
≠
0
;
g
(
z
)
=
1
f
(
z
)
∈
O
(
u
˙
(
a
)
)
,
lim
z
→
a
g
(
z
)
=
0
{\textstyle {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)=\infty \Rightarrow \exists {\dot {u}}(a):\forall z\in {\dot {u}}(a)\neq 0;\quad g(z)={\frac {1}{f(z)}}\in O({\dot {u}}(a)),\lim _{z\rightarrow a}g(z)=0}
Для
g
(
z
)
{\textstyle g(z)}
точка
a
{\textstyle a}
устранимая
⇒
{\textstyle \Rightarrow }
в
u
˙
(
a
)
g
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
b
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle {\dot {u}}(a)g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}(z-a)^{n}}
, причём
b
0
=
0
{\textstyle b_{0}=0}
, так как
lim
z
→
a
g
(
z
)
=
0
{\textstyle \lim _{z\rightarrow a}g(z)=0}
, то есть
g
(
z
)
=
b
N
(
z
−
a
)
N
+
⋯
{\textstyle g(z)=b_{N}(z-a)^{N}+\cdots }
, где
b
N
≠
0
,
N
≠
0
{\textstyle b_{N}\neq 0,N\neq 0}
g
(
z
)
=
b
N
(
z
−
a
)
N
+
⋯
=
(
z
−
a
)
N
(
b
N
+
b
N
+
1
(
z
−
a
)
…
)
=
(
z
−
a
)
N
h
(
z
)
{\textstyle g(z)=b_{N}(z-a)^{N}+\cdots =(z-a)^{N}\left(b_{N}+b_{N+1}(z-a)\ldots \right)=(z-a)^{N}h(z)}
h
(
z
)
∈
O
(
u
˙
(
a
)
)
,
h
(
a
)
=
b
N
≠
0
⇒
∃
W
(
a
)
∀
z
∈
W
(
a
)
h
(
z
)
≠
0
{\textstyle h(z)\in O({\dot {u}}(a)),h(a)=b_{N}\neq 0\Rightarrow \exists W(a)\quad \forall z\in W(a)\quad h(z)\neq 0}
f
(
z
)
=
1
(
z
−
a
)
N
h
(
z
)
=
1
(
z
−
a
)
N
1
h
(
z
)
=
1
(
z
−
a
)
N
(
1
b
N
+
⋯
)
{\textstyle f(z)={\frac {1}{(z-a)^{N}h(z)}}={\frac {1}{(z-a)^{N}}}{\frac {1}{h(z)}}={\frac {1}{(z-a)^{N}}}\left({\frac {1}{b_{N}}}+\cdots \right)}
Здесь
(
1
b
N
+
⋯
)
{\textstyle \left({\frac {1}{b_{N}}}+\cdots \right)}
ряд Тейлора для функции
1
h
(
z
)
{\textstyle {\frac {1}{h(z)}}}
в
W
(
a
)
{\textstyle W(a)}
∀
z
∈
W
(
a
)
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
N
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle \forall z\in W(a)\quad f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции
f
{\textstyle f}
тоже начинается с члена со степенью
−
N
{\textstyle -N}
.
Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме
∄
lim
z
→
a
f
(
z
)
{\textstyle \not \exists {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)}
и
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
; значит, эти случаи эквивалентны.
Теорема. (Риман; об особой устранимой точке)
⊐
f
∈
O
(
0
<
|
z
−
a
|
<
ε
)
,
a
{\textstyle \sqsupset f\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}
– устранимая для
f
⇔
∃
u
˙
(
a
)
:
f
(
z
)
{\textstyle f\Leftrightarrow \exists {\dot {u}}(a):f(z)}
ограничена в
u
˙
(
a
)
{\textstyle {\dot {u}}(a)}
.
Доказательство.
⇒
{\textstyle \Rightarrow }
)
a
{\textstyle a}
устранимая для
f
⇒
∃
lim
Z
→
a
f
(
z
)
∈
C
⇒
f
{\textstyle f\Rightarrow \exists \lim _{Z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} \Rightarrow f}
ограничена в некоторой проколотой окрестности
u
˙
(
a
)
{\textstyle {\dot {u}}(a)}
⇐
{\textstyle \Leftarrow }
)
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
,
|
C
n
|
<
M
ρ
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n},\quad \left|C_{n}\right|<{\frac {M}{\rho ^{n}}}}
(
ρ
{\textstyle \rho }
такое,что
f
{\textstyle f}
ограничена в
|
z
−
a
|
<
ρ
{\textstyle |z-a|<\rho }
)
Если
n
<
0
{\textstyle n<0}
и если
ρ
→
0
{\textstyle \rho \rightarrow 0}
, то
M
ρ
n
→
0
{\textstyle {\frac {M}{\rho ^{n}}}\rightarrow 0}
. Значит, все
C
n
{\textstyle C_{n}}
при
n
<
0
{\textstyle n<0}
равны нулю. Следовательно:
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
Замечание. В этой теореме вместо ограниченности
f
{\textstyle f}
можно разрешить небольшой рост вблизи
a
{\textstyle a}
, главное, чтобы
max
|
z
−
a
|
=
ρ
|
f
(
z
)
|
ρ
→
0
{\textstyle \max _{|z-a|=\rho }|f(z)|\rho \rightarrow 0}
при
ρ
→
0
{\textstyle \rho \rightarrow 0}
.
Теорема. (Сохоцкий)
f
(
z
)
∈
O
(
0
<
|
z
−
a
|
<
ε
)
,
a
{\textstyle f(z)\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}
существенно особая для
f
(
z
)
⇔
∀
A
∈
C
¯
,
∃
z
n
→
a
:
f
(
z
n
)
→
A
{\textstyle f(z)\Leftrightarrow \forall A\in {\overline {\mathbb {C} }},\quad \exists z_{n}\rightarrow a:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A}
Доказательство.
⇐
{\textstyle \Leftarrow }
)
∀
A
∈
C
¯
,
∃
z
n
→
a
,
:
f
(
z
n
)
→
A
⇒
lim
z
→
a
f
(
z
)
⇒
a
{\textstyle \forall A\in {\overline {\mathbb {C} }},\exists z_{n}\rightarrow a,:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A\Rightarrow {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)\Rightarrow a}
существенно особая для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
⇒
{\textstyle \Rightarrow }
) 1)
A
∈
C
{\textstyle A\in \mathbb {C} }
Докажем от противного.
Пусть
∃
z
n
→
a
,
:
f
(
z
n
)
→
A
⇒
∃
δ
>
0
∃
ε
>
0
∀
z
∈
u
δ
(
a
)
{\textstyle \exists z_{n}\rightarrow a,:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A\Rightarrow \exists \delta >0\exists \varepsilon >0\forall z\in u_{\delta }(a)}
|
f
(
z
)
−
A
|
>
ε
{\textstyle |f(z)-A|>\varepsilon }
Следовательно,
|
1
f
(
z
)
−
A
|
<
1
ε
{\textstyle \left|{\frac {1}{f(z)-A}}\right|<{\frac {1}{\varepsilon }}}
в
u
˙
δ
(
a
)
{\textstyle {\dot {u}}_{\delta }(a)}
, значит,
a
{\textstyle a}
устранимая для
1
f
(
z
)
−
A
{\textstyle {\frac {1}{f(z)-A}}}
(по теореме Римана)
Это означает,что
∃
lim
z
→
a
1
f
(
z
)
−
A
=
B
∈
C
⇒
∃
lim
z
→
a
f
(
z
)
=
A
+
1
B
∈
C
¯
{\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}{\frac {1}{f(z)-A}}=B\in \mathbb {C} \Rightarrow \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)=A+{\frac {1}{B}}\in {\overline {C}}}
Получаем противоречие с тем,что
a
{\textstyle a}
существенно особая.
2)
A
=
∞
{\textstyle A=\infty }
Пусть
∄
z
n
→
a
:
f
(
z
n
)
→
∞
⇒
∃
δ
>
0
∃
M
>
0
∀
z
∈
u
˙
δ
(
a
)
|
f
(
z
)
|
<
M
{\textstyle \not \exists z_{n}\rightarrow a:f\left(z_{n}\right)\rightarrow \infty \Rightarrow \exists \delta >0\exists M>0\forall z\in {\dot {u}}_{\delta }(a)|f(z)|<M}
Значит, по теореме Римана,
a
{\textstyle a}
устранимая для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
– противоречие с тем, что
a
{\textstyle a}
существенно особая.
∞
{\textstyle \infty }
как изолированная особая точка
править
Определение.
∞
{\textstyle \infty }
изолированная особая точка однозначного характера для
f
{\textstyle f}
, если
f
∈
O
(
|
z
|
>
R
)
{\textstyle f\in O(|z|>R)}
для некоторого
R
>
0
{\textstyle R>0}
.
Определение.
∞
{\textstyle \infty }
называется устранимой (полюсом,существенно особой) для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для
f
(
1
z
)
∈
O
(
0
<
|
z
|
<
1
R
)
{\textstyle f\left({\frac {1}{z}}\right)\in O\left(0<|z|<{\frac {1}{R}}\right)}
. Так как
f
(
z
)
∈
O
(
|
z
|
>
R
)
{\textstyle f(z)\in O(|z|>R)}
, то в этой области
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
раскладывается в ряд Лорана
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
z
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}z^{n}}
.
∞
{\textstyle \infty }
для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
0
{\textstyle 0}
для
f
(
1
z
)
{\textstyle f({\frac {1}{z}})}
Ряд Лорана для
f
(
1
z
)
{\textstyle f({\frac {1}{z}})}
Ряд Лорана для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
устранимая
устранимая
∑
n
=
0
+
∞
C
−
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=0}^{+\infty }C_{-n}z^{n}}
∑
n
=
−
∞
0
C
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{0}C_{n}z^{n}}
полюс
N
{\textstyle N}
-го порядка
полюс
N
{\textstyle N}
-го порядка
∑
n
=
−
N
+
∞
C
−
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=-N}^{+\infty }C_{-n}z^{n}}
∑
n
=
−
∞
N
C
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{N}C_{n}z^{n}}
существенно особая
существенно особая
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
−
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{-n}z^{n}}
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
z
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}z^{n}}
Isbur (обсуждение ) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)