Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.

править

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой'', если  , либо если  

2) Полюсом  -го порядка'', если  , либо если  

3) Существенно особой'', если  , либо если  

Доказательство.

1)  . Тогда  

2)  . Тогда   ограничена в некоторой окрестности точки  

Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями  , тогда, по неравенству Коши,  .

Устремим   к нулю, тогда   (так как  ). Значит,  , следовательно,все   при  

3)  , где  . Посчитаем предел

 

4)  

Для   точка   устранимая   в  , причём  , так как  , то есть  , где  

 

 

 

Здесь   ряд Тейлора для функции   в  

 

По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции   тоже начинается с члена со степенью  .

Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме   и  ; значит, эти случаи эквивалентны.

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке)   – устранимая для   ограничена в  .

Доказательство.  )   устранимая для   ограничена в некоторой проколотой окрестности  

 )   (  такое,что   ограничена в  )

Если   и если  , то  . Значит, все   при   равны нулю. Следовательно:

 

Замечание. В этой теореме вместо ограниченности   можно разрешить небольшой рост вблизи  , главное, чтобы   при  .

Теорема. (Сохоцкий)   существенно особая для  

Доказательство.  )   существенно особая для  

 ) 1)  

Докажем от противного.

Пусть  

 

Следовательно,   в  , значит,   устранимая для   (по теореме Римана)

Это означает,что  

Получаем противоречие с тем,что   существенно особая.

2)  

Пусть  

Значит, по теореме Римана,   устранимая для   – противоречие с тем, что   существенно особая.

  как изолированная особая точка

править

Определение.   изолированная особая точка однозначного характера для  , если   для некоторого  .

Определение.   называется устранимой (полюсом,существенно особой) для  ,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для  . Так как  , то в этой области   раскладывается в ряд Лорана  .

  для     для   Ряд Лорана для   Ряд Лорана для  
устранимая устранимая    
полюс  -го порядка полюс  -го порядка    
существенно особая существенно особая    

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)