Комплексный анализ I/Билеты/Преобразование Фурье рациональных функций

Лемма Жордана. Преобразование Фурье рациональных функций.

Лемма. (Жордан)

${\textstyle \sqsupset }$ ${\textstyle f\in C(\{\operatorname {Im} z>0,|z|>r\});\max _{z\in \gamma _{R}}|f(z)|\rightarrow 0}$ при ${\textstyle R\rightarrow \infty }$ (${\textstyle \gamma _{R}}$ это верхние полуокружности окружностей ${\textstyle |z|=R>r}$).

Тогда ${\textstyle \forall a>0\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{iaz}dz\rightarrow 0}$ при ${\textstyle R\rightarrow \infty }$.

Доказательство. Сделаем в интеграле ${\textstyle \int _{\gamma _{R}}f(z)e^{iaz}dz}$ замену ${\textstyle z=Re^{i\varphi },\varphi \in [0,\pi ]}$:

${\textstyle \int _{\gamma _{R}}f(z)e^{iaz}dz=\int _{0}^{\pi }f\left(Re^{i\varphi }\right)e^{iaRe^{i\varphi }}iRe^{i\varphi }d\varphi \leq \max _{z\in \gamma _{R}}\left|R\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \varphi }d\varphi =\max _{z\in \gamma _{R}}\right||(z)\left|2R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-aR\sin \varphi }d\varphi \right.\leqslant }$

${\textstyle \leq \max _{z\in \gamma _{R}}|f(z)|2R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-{\frac {2}{\pi }}aR\varphi }d\varphi =\max _{z\in Y_{R}}|f(z)|2R\left.{\frac {e^{-{\frac {2}{\pi }}aR\varphi }}{-{\frac {2}{\pi }}aR}}\right|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=\max _{z\in \gamma _{R}}|f(z)|\left.{\frac {e^{-{\frac {2}{\pi }}aR\varphi }}{-{\frac {a}{\pi }}}}\right|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=\max _{Z\in \gamma _{R}}|f(z)|{\frac {\pi }{a}}\left(1-e^{-aR}\right)}$

${\textstyle \max _{z\in \gamma _{R}}|f(z)|{\frac {\pi }{a}}\left(1-e^{-aR}\right)\rightarrow 0}$ при ${\textstyle R\rightarrow \infty ,\quad a>0}$

Преобразование Фурье рациональных функций

${\textstyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}},\quad \operatorname {deg} Q>\operatorname {deg} P,\quad R(z)}$ имеет на ${\textstyle \mathbb {R} }$ только полюсы первого порядка.

${\textstyle \lambda \in \mathbb {R} ;{\hat {R}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }R(x)e^{-i\lambda x}dx}$ (интеграл в смысле главного значения).

Выкинем вокруг каждого полюса на действительной оси (обозначим их за ${\textstyle b_{k}}$) ${\textstyle \varepsilon }$–окрестность и запишем интеграл как предел:

(минус здесь изза того, что мы обходим контур так, что область остаётся справа от нас)

${\textstyle {\hat {R}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(-2\pi i\sum _{Ima_{k}<0}\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)-\sum _{k=1}^{n}\pi i\operatorname {res} _{b_{k}}\left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)\right)}$ при ${\textstyle \lambda >0}$

Получаем формулу для преобразования Фурье:

${\textstyle {\hat {R}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{c}{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(2\pi i\sum _{Ima_{k}>0}\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)+\sum _{k=1}^{n}\pi i\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)\right)},\quad \lambda <0\\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(-2\pi i\sum _{\operatorname {Im} a_{k}<0}\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)-\sum _{k=1}^{n}\pi i\operatorname {res} _{b_{k}}\left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)\right)},\quad \lambda >0\end{array}}\right.}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)