область в , линейное пространство голоморфных в функций. Какая сходимость естественна в пространстве ? Обычная равномерная сходимость не годится. Запишем её определение:
на
и поясним, что же не так. Возьмём , получим, что ограничена в , и, по теореме Лиувилля, , . Получается, что наша последовательность состоит из одинаковых функций.
Определение.
внутри , если компакта на (просто равномерно сходится на ).
Теорема. (Вейерштрасс) область в , внутри внутри .
Доказательство. внутри круга как равномерный предел непрерывных на компакте функций. По теореме Мореры, треугольного контура существует интеграл ().
, так как и замкнутый контур.
, так как получилось, что .
Осталось доказать, что на .
Выделяем из бесконечного покрытия конечное: замкнутый круг, (это возможно, так как компакт). Окружим замкнутые круги окружностями , чтобы . Из теоремы о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции:
, так как на .
Положим ; тогда
,
то есть на .
Следствие. сходится равномерно внутри области (то есть внутри ) ( сходимость равномерная внутри ).
Доказательство. Просто применить теорему Вейерштрасса к .
Является ли пространство со сходимостью, которую мы определили выше, метрическим? То есть, существует ли метрика в пространстве внутри ?
'Теорема. ''''' Такая метрика существует:
, произвольная система компактов, исчерпывающих область .
Эта метрика называется метрикой Фреше''.
Перед доказательством теоремы вспомним одно определение и проведём одно дополнительное рассуждение.
Определение. .
Утверждение. произвольная система компактов, исчерпывающих область . .
Доказательство. Нам нужно доказать, что удовлетворяет всем аксиомам метрики:
и, кроме того:
на
a) очевидно;
b) очевидно;
c) нужно доказать,что .
Обозначим
Мы знаем, что для метрики верно, что
То есть, нам нужно доказать, что если , то
Иначе, , верно ли, что ?
, так как монотонно убывает и .
, так как выпукла вверх:
d) , то есть, по определению, на .
Замечание. Почему ряд из определения метрики Фреше вообще сходится?
Следствие. (из этой теоремы и теоремы Вейерштрасса) полное метрическое пространство.
Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)