13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов.

править

Теорема.  

 

  любое число такое, что  

Доказательство.  

  (по интегральной формуле Коши)

1)  

Второй множитель можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

 

2)  

Здесь второй множитель также можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

 

 

 

В первом интеграле вместо   и во втором вместо   можно взять любое число  , так как интеграл по замкнутой кривой внутри окружности равен интегралу по окружности, значит

 

 

Замечание. Ряд Лорана сходится к   равномерно внутри кольца  .

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана.  

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце  , где  ,  . Вне этого кольца ряд расходится. Если   то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3)  , то есть наш ряд это ряд Лорана для  .

Доказательство.

1)   – первая часть называется правильной частью ряда Лорана, вторая главной частью ряда Лорана. Посмотрим, где сходятся по отдельности главная и правильная части.

Главная часть:

  сходится при  

Правильная часть:

  сходится при   

Получается, что ряд Лорана сходится в кольце  . Если  , то области сходимости главной части (внешность круга радиусом   с центром в  ) и правильной части (внутренность круга радиусом   с центром в  ) не пересекаются. Значит, ряд Лорана нигде не сходится.

2) правильная часть сходится равномерно внутри круга  ;

главная часть сходится равномерно внутри  

Значит, наш ряд сходится равномерно внутри кольца    , по следствию из теоремы Вейерштрасса, сумма рядов голоморфна внутри кольца  .

3)  

Сделаем замену переменной  ,  

 

 

 

Следствие. (из пункта 3) Если  , то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)