Теорема.
f
∈
O
(
r
<
|
z
−
a
|
<
R
)
⇒
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle f\in O(r<|z-a|<R)\Rightarrow f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
C
n
=
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
z
)
(
z
−
a
)
n
+
1
d
z
{\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}
ρ
{\textstyle \rho }
любое число такое, что
r
<
ρ
<
R
,
n
=
0
,
±
1
,
…
{\textstyle r<\rho <R,\quad n=0,\pm 1,\ldots }
Доказательство.
z
:
r
<
|
z
−
a
|
<
R
⇒
∃
ε
>
0
r
+
ε
<
|
z
−
a
|
<
R
−
ε
{\textstyle z:r<|z-a|<R\Rightarrow \exists \varepsilon >0\quad r+\varepsilon <|z-a|<R-\varepsilon }
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
R
−
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
−
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
r
+
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
{\textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi }
(по интегральной формуле Коши)
1)
|
ξ
−
a
|
=
R
−
ε
:
1
ξ
−
z
=
1
ξ
−
a
−
(
z
−
a
)
=
1
ξ
−
a
1
1
−
z
−
a
ξ
−
a
{\textstyle |\xi -a|=R-\varepsilon :{\frac {1}{\xi -z}}={\frac {1}{\xi -a-(z-a)}}={\frac {1}{\xi -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\xi -a}}}}}
Второй множитель можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1
ξ
−
a
1
1
−
z
−
a
ξ
−
a
=
1
ξ
−
a
∑
n
=
0
+
∞
(
z
−
a
ξ
−
a
)
n
=
∑
n
=
0
+
∞
(
z
−
a
)
n
(
ξ
−
a
)
n
+
1
{\textstyle {\frac {1}{\xi -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\xi -a}}}}={\frac {1}{\xi -a}}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {z-a}{\xi -a}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-a)^{n}}{(\xi -a)^{n+1}}}}
2)
|
ξ
−
a
|
=
r
+
ε
:
1
ξ
−
z
=
−
1
z
−
a
−
(
ξ
−
a
)
=
−
1
z
−
a
1
1
−
ξ
−
a
z
−
a
{\textstyle |\xi -a|=r+\varepsilon :{\frac {1}{\xi -z}}=-{\frac {1}{z-a-(\xi -a)}}=-{\frac {1}{z-a}}{\frac {1}{1-{\frac {\xi -a}{z-a}}}}}
Здесь второй множитель также можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:
−
1
z
−
a
1
1
−
ξ
−
a
Z
−
a
=
−
1
z
−
a
∑
n
=
0
+
∞
(
ξ
−
a
z
−
a
)
n
=
−
∑
n
=
0
+
∞
(
ξ
−
a
)
n
(
z
−
a
)
n
+
1
{\textstyle -{\frac {1}{z-a}}{\frac {1}{1-{\frac {\xi -a}{Z-a}}}}=-{\frac {1}{z-a}}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {\xi -a}{z-a}}\right)^{n}=-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(\xi -a)^{n}}{(z-a)^{n+1}}}}
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
R
−
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
−
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
r
+
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
=
∑
n
=
0
+
∞
(
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
R
−
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
)
(
z
−
a
)
n
+
{\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi =\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}+}
+
∑
n
=
0
+
∞
(
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
r
+
ε
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
d
ξ
)
1
(
z
−
a
)
n
+
1
{\textstyle +\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }f(\xi )(\xi -a)^{n}d\xi \right){\frac {1}{(z-a)^{n+1}}}}
В первом интеграле вместо
R
−
ε
{\textstyle R-\varepsilon }
и во втором вместо
r
+
ε
{\textstyle r+\varepsilon }
можно взять любое число
ρ
:
r
<
ρ
<
R
{\textstyle \rho :r<\rho <R}
, так как интеграл по замкнутой кривой внутри окружности равен интегралу по окружности, значит
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
(
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
)
(
z
−
a
)
n
+
∑
n
=
−
∞
−
1
(
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
)
(
z
−
a
)
n
=
{\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}+\sum _{n=-\infty }^{-1}\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}=}
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
(
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
)
(
z
−
a
)
n
{\textstyle =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}}
Замечание. Ряд Лорана сходится к
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
равномерно внутри кольца
r
<
|
z
−
a
|
<
R
{\textstyle r<|z-a|<R}
.
Неравенства Коши для коэффициентов Лорана.
|
C
n
|
≤
max
|
z
−
a
|
=
ρ
|
f
(
z
)
|
ρ
2
,
r
<
ρ
<
R
{\textstyle \left|C_{n}\right|\leq {\frac {\max _{|z-a|=\rho }|f(z)|}{\rho ^{2}}},r<\rho <R}
Теорема. (свойства рядов Лорана)
1) ряд Лорана сходится в кольце
r
<
|
z
−
a
|
<
R
{\textstyle r<|z-a|<R}
, где
r
=
lim
n
→
+
∞
|
C
−
n
|
n
{\textstyle r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}
,
R
=
1
lim
n
→
+
∞
|
C
n
|
n
{\textstyle R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}
. Вне этого кольца ряд расходится. Если
r
>
R
{\textstyle r>R}
то ряд не сходится вообще нигде
2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция
3)
C
n
=
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
,
n
∈
Z
{\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi ,n\in \mathbb {Z} }
, то есть наш ряд это ряд Лорана для
f
(
z
)
{\textstyle f(z)}
.
Доказательство.
1)
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
=
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
+
∑
n
=
−
∞
−
1
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}+\sum _{n=-\infty }^{-1}C_{n}(z-a)^{n}}
– первая часть называется правильной частью ряда Лорана , вторая главной частью ряда Лорана . Посмотрим, где сходятся по отдельности главная и правильная части.
Главная часть:
∑
n
=
0
+
∞
C
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle \sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}
сходится при
|
z
−
a
|
<
R
=
1
lim
n
→
+
∞
|
C
n
|
n
{\textstyle |z-a|<R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}
Правильная часть:
∑
n
=
−
∞
−
1
C
n
(
z
−
a
)
n
=
∑
n
=
1
+
∞
C
−
n
(
z
−
a
)
n
{\textstyle \sum _{n=-\infty }^{-1}C_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {C_{-n}}{(z-a)^{n}}}}
сходится при
|
1
z
−
a
|
<
1
lim
n
→
+
∞
|
C
−
n
|
n
{\textstyle \left|{\frac {1}{z-a}}\right|<{\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}}}
⇔
|
z
−
a
|
>
r
=
lim
n
→
+
∞
|
C
−
n
|
n
{\textstyle \Leftrightarrow |z-a|>r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}
Получается, что ряд Лорана сходится в кольце
r
=
lim
n
→
+
∞
|
C
−
n
|
n
<
|
z
−
a
|
<
1
lim
n
→
+
∞
|
C
n
|
n
=
R
{\textstyle r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}<|z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}=R}
. Если
r
>
R
{\textstyle r>R}
, то области сходимости главной части (внешность круга радиусом
r
{\textstyle r}
с центром в
a
{\textstyle a}
) и правильной части (внутренность круга радиусом
R
{\textstyle R}
с центром в
a
{\textstyle a}
) не пересекаются. Значит, ряд Лорана нигде не сходится.
2) правильная часть сходится равномерно внутри круга
|
z
−
a
|
<
R
{\textstyle |z-a|<R}
;
главная часть сходится равномерно внутри
|
z
−
a
|
>
r
{\textstyle |z-a|>r}
Значит, наш ряд сходится равномерно внутри кольца
r
<
|
z
−
a
|
<
R
{\textstyle r<|z-a|<R}
⇒
{\textstyle \Rightarrow }
, по следствию из теоремы Вейерштрасса, сумма рядов голоморфна внутри кольца
r
<
|
z
−
b
|
<
R
{\textstyle r<|z-b|<R}
.
3)
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
=
1
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
(
ξ
−
a
)
k
(
ξ
−
a
)
n
+
1
d
ξ
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
(
ξ
−
a
)
k
−
n
−
1
d
ξ
{\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {\sum _{k=-\infty }^{+\infty }C_{k}(\xi -a)^{k}}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }(\xi -a)^{k-n-1}d\xi }
Сделаем замену переменной
ξ
=
a
+
ρ
e
i
φ
,
φ
∈
[
0
,
2
π
]
{\textstyle \xi =a+\rho e^{i\varphi },\varphi \in [0,2\pi ]}
,
⊐
v
=
k
−
n
−
1
{\textstyle \sqsupset v=k-n-1}
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
2
π
i
∫
|
z
−
a
|
=
ρ
(
ξ
−
a
)
v
d
ξ
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
2
π
i
∫
0
2
π
ρ
v
e
i
v
φ
i
ρ
e
i
φ
d
φ
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
ρ
v
+
1
2
π
∫
0
2
π
e
i
(
v
+
1
)
φ
d
φ
{\textstyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }(\xi -a)^{v}d\xi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{v}e^{iv\varphi }i\rho e^{i\varphi }d\varphi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi }
C
k
ρ
v
+
1
2
π
∫
0
2
π
e
i
(
v
+
1
)
φ
d
φ
=
{
C
k
,
v
=
−
1
0
,
v
≠
−
1
{\textstyle {\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi =\left\{{\begin{array}{l}{C_{k},v=-1}\\{0,v\neq -1}\end{array}}\right.}
∑
k
=
−
∞
+
∞
C
k
ρ
v
+
1
2
π
∫
0
2
π
e
i
(
v
+
1
)
φ
d
φ
=
C
k
{\textstyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi =C_{k}}
Следствие. (из пункта 3) Если
f
(
z
)
∈
O
(
r
<
|
z
−
a
|
<
R
)
{\textstyle f(z)\in O(r<|z-a|<R)}
, то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.
Isbur (обсуждение ) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)