Теорема. (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). порядок нуля в 0. Тогда сходится равномерно во всяком круге .
Доказательство.
, значит
сходится равномерно в (по условию)
Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:
равномерно сходится в , значит
равномерно сходится во всякой точке из , а хвосты сходятся равномерно внутри . Следовательно, , и те же нули, что и , кроме, может быть, нуля.
порядок нуля в 0. Рассмотрим . У нет нулей в . Осталось показать, что .
голоморфна в , так как у нет нулей в . Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,
Пример.
Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)