Участник:Isbur/Некоторые задачи аналитической механики

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm - здесь представлен задачник Т.В. Сальниковой и К.Е. Якимовой по курсу аналитической механики.

Глава 1

править

Глава 2

править

Глава 3

править

Задача 3.1

править

Условие

править

Маятник состоит из жёсткого стержня длиной 𝑙, несущего массу 𝑚 на своём конце. К стержню прикреплены две пружины жёсткости 𝑐 на расстоянии 𝑎 от его

верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.

Решение

править
 


 
 

  - удлинение пружины

 
 
 

 
 
 
 
 
Ответ:  

Задача 3.2

править

Условие

править

Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так,что масса 𝑚 расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.

Решение

править

  (против   в предыдущей задаче)
 
 
 
 
Ответ:  

Задача 3.3

править

Условие

править
 

Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.4

править

Условие

править
 

Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

Решение

править

 

 

 

 

 

Задача 3.6

править

Условие

править
 


Определить период малых колебаний однородного полудиска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

Решение

править
Ищем центр масс
править
 

 

 

 

 

Моменты инерции
править

 

 

 

 

 

Энергии
править
 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.8

править

Условие

править
 

Три нити связаны в точке С: две из них перекинуты через небольшие неподвижные блоки А и В, расположенные на одной горизонтали, и несут на концах равные грузы m1; к концу третьей нити подвешен груз с массой m2, причём m2 < 2m1. Найти период малых колебаний этой системы около положения равновесия, если СА = СВ = а, считая, что грузы могут двигаться только по вертикали.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

- устойчивое положение равновесия;

 

- неустойчивое.

 

 

 

 

 

Задача 3.9

править

Условие

править

Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин l и 2l с углом  , может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.14

править

Условие

править
 

Найти период малых колебаний около устойчивого положения равновесия тяжёлого однородного стержня ОА длины I и массы т, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О и к концу А которого прикреплена пружина АВ. Пружина закреплена в точке В, расположенной на расстоянии I над точкой О. Длина нерастянутой пружины I, коэффициент её жёсткости с.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Другой случай:

 

 


 

 


 

Задача 3.16

править

Условие

править
 

Тяжёлая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырёх упругих канатах, жёсткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии I по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы (точки А, В, С, D перемещаются только вертикально).

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.21

править

Условие

править
 

Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h < /), соединены между собой пружиной жёсткости с; пружина не натянута, когда маятники занимают вертикальное положение. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса маятников, если в начальный момент один из них отклонён от вертикали на угол а, а начальные скорости равны нулю.

Решение

править
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Задача 3.27

править

Условие

править
 

Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы  и длины l. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить  .

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.28

править

Условие

править
 

Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня   длины 2а и массы т1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О1, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т2, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О1O2 отклонён на угол φ0 от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.

Решение

править

 

 

 

 


 

 

 


 

 


 

 

 

При  

 

Задача 3.32

править

Условие

править
 

К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маятник, причём

 

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при 𝑡 = 0

 

Решение

править

 

   

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 При   и  

 

Глава 4

править

Задача 4.1

править

Условие

править
 

По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, может двигаться точка массы m. 1) Найти общее решение канонических уравнений движения точки. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Получить решение методом Якоби. За обобщённую координату принять х — расстояние точки до оси вращения.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.2

править

Условие

править
 

Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол  . В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.3

править

Условие

править

Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ν0. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.4

править

Условие

править
 

Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

 ,

расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, v = v0 .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s =  . 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.5

править

Условие

править
 

Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса r, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.13

править

Условие

править
 

Два одинаковых шарика массы т, связанные между собой пружиной жёсткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна /), могут скользить без трения по трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. 1) Найти переменные у1, у2, в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных.

2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.24

править

Условие

править

Стержень вращается с постоянной угловой скоростью ω в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня). Найти общее решение канонических уравнений движения колечка массы m, насаженного на стержень

1) непосредственным интегрированием, и 2) методом Якоби; выписать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

Решение

править
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование...

 

 

Задача 4.27

править

Условие

править
 

Материальная точка М массы т движется под действием двух ньютоновских сил притяжения, центры С1 и С2 которых расположены на неподвижной оси, расстояние между ними равно 2с. Найти интегралы канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

За обобщённые координаты принять угол поворота плоскости, определяемой точками М, С1 и С2 и эллиптические координаты в этой плоскости

 

 

где r1 = С1М, r2 = С2М.

Решение

править

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5

править

Задача 5.1

править

Условие

править

Доказать свойства скобок Пуассона...

Решение

править
1. 
править

 

 


2. Если  , то  
править

 

 

 


3. 
править

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4. 
править

 

 

 

 

Задача 5.8

править

Решение

править

 

 

 

 

Это выражение равно  , если  , так как   не зависят от  ;

Если же  , то в выражении выделится множитель из менее, чем   множителей, которая по той же причине занулит всё выражение.