Участник:Isbur/Сырые условия

3.    Малые колебания

3.1. Маятник состоит из жёсткого стержня длиной /, несущего массу т на своём конце. К стержню прикреплены две пружины жёсткости с на расстоянии а от его верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.

3.2. Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса т расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.

3.3. Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

3.4. Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

3.5. Найти период малых колебаний системы, состоящей из неоднородного шкива радиуса г и массы М, который вращается вокруг оси О, и центр масс которого находится в точке С, на расстоянии ОС = а от оси вращения. Шкив обмотан верёвкой, к свободному концу которой подвешен груз массы т. Радиус инерции шкива относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен к.

3.6. Определить период малых колебаний однородного полудиска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

3.7. Обруч массы М и радиуса R может качаться в вертикальной плоскости, опираясь на неподвижный цилиндр радиуса г, как показано на рисунке; проскальзывание между цилиндром и обручем

отсутствует. Показать, что период малых колебаний обруча будет совпадать с периодом колебаний математического маятника длины 2(R - г).

3.8. Три нити связаны в точке С: две из них перекинуты через небольшие неподвижные блоки А и В, расположенные на одной горизонтали, и несут на концах равные грузы т_х; к концу третьей нити подвешен груз с массой т₂, причём т₂ <

2т_х. Найти период малых колебаний этой

системы около положения равновесия, если СА = СВ = а, считая, что грузы могут двигаться только по вертикали.

3.9. Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин / и 21 с углом |, может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия.

3.10. Однородный тонкий стержень АВ длины 2а подвешен концами на двух нитях одинаковой длины /, закреплённых в точках С и D, расположенных на расстоянии 2b на одной горизонтали (бифилярный подвес). Определить период крутильных колебаний стержня, если его повернуть на небольшой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину, и затем опустить.

3.11. Палочка длины 21 подвешена на двух вертикальных нитях длины а и Ь. Определить частоту плоских малых колебаний.

3.12. На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса R положен призматический брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси цилиндра.

Длина бруска 2/, высота 2а. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жёсткости с. Предполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колебаний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен J₀.

3.13. Пренебрегая массой стержней, найти период малых колебаний маятника, изображённого на рисунке. Центр масс груза находится на продолжении шатуна шарнирного четырёхзвенника ОАВО_х в точке С. В положении равновесия стержни ОА и ВС вертикальны, стержень О_х В горизонтален: ОА = АВ = а, АС = s.

3.14. Найти период малых колебаний около устойчивого положения равновесия тяжёлого однородного стержня ОА длины I и массы т, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О и к концу А которого прикреплена пружина АВ. Пружина закреплена в точке В, расположенной на расстоянии I над точкой О. Длина нерастянутой пружины I, коэффициент её жёсткости с.

3.15. В задаче 2.33 при условии, что рамка вращается с постоянной скоростью Ω, доказать, что частота малых колебаний пластинки в окрестности устойчивого положения равновесия равна Ω.

3.16. Тяжёлая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырёх упругих канатах, жёсткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии I по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали плат-

формы а. Определить период вертикальных колебаний системы (точки А, В, С, D перемещаются только вертикально).

3.17.  Найти частоты малых колебаний сферического маятника длины I (точка движется по сфере под действием своего веса) в окрестности наинизшего положения.

3.18. Стержень АВ массы т_х подвешен за концы А и В к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а.

К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины b балка CD массы т₂. Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь.

3.19. Два одинаковых однородных диска массы т каждый могут катиться по горизонтальной направляющей. Центры дисков соединены между собой и с неподвижными стенками одинаковыми пружинами жёсткости с. Найти малые колебания системы.

3.20. Найти условия устойчивости вертикального положения равновесия обращённого двойного маятника, изображённого на рисунке, а также его малые колебания в окрестности этого положения, считая, что в этом положении пружины не напряжены.

3.21. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h < /), соединены между собой пружиной жёсткости с; пружина не натянута, когда маятники занимают вер-

тикальное положение. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса маятников, если в начальный момент один из них отклонён от вертикали на угол а, а начальные скорости равны нулю.

3.22. Три цилиндрические трубы с радиусами R₀ = 3г, R₁ = 2г, R₂ = г вложены одна в другую, как показано на рисунке.

Внешняя труба радиуса R₀ неподвижна, проскальзывание между трубами отсутствует, а их массы равны соответственно m_i = 3т и т₂ = т. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

3.23. К концу А однородного стержня АВ массы m_i =2т и длины 2/, который может поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = 1 АВ), на невесомой нерастяжимой нити длины I подвешен грузик массы т. Конец В стержня прикреплён к неподвижному основанию пружиной жёсткости с (при горизонтальном положении стержня пружина не напряжена). Найти малые колебания системы в окрестности устойчивого положения равновесия.

3.24. Найти малые колебания системы в окрестности устойчивого положения равновесия из задачи 2.20 при условии т = М, г = 4R.

3.25. Однородный диск массы т и радиуса г может катиться без проскальзывания внутри неподвижной окружности радиуса R. К центру диска подвешен

т

груз массы - на невесомом стержне длины .Найти малые колебания системы в окрестности устойчивого положения равновесия, если при t = 0

3.26. Три одинаковых пружины жёсткости с прикреплены к точке М массы т, а другие концы пружин закреплены в вершинах равностороннего треугольника со стороной I. Плоскость треугольника горизонтальна, и точка М движется в этой плоскости. Найти малые колебания точки около положения равновесия, совпадающего с точкой пересечения биссектрис треугольника. Считать, что в положении равновесия пружины не растянуты.

3.27. Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы -

и длины I. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить С = ^.

3.28. Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня О_х 0₂ длины 2а и массы т_х, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О_х, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т₂, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом 0₂ первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О_х 0₂ отклонён на угол φ_υ от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω₀.

3.29. В задачах 2.25 и 2.26 найти общее решение задачи о малых колебаниях системы в окрестности стационарного движения х = ν_υ, φ = 0.

3.30. В задаче 2.29 найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при t = 0

ψ\=^0,

φ-

ι

= arcsm  ,

2r

Ου

^,              Ψ2 = —

при условии т_х = т₂ = т.

3.31. В задаче 2.24 найти период малых колебаний маленького цилиндра.

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при t = 0

X =             ^, Ψΐ = Ψ2 = °.

3.33. Найти малые колебания системы из задачи 2.27 в окрестности стационарного движения

х = Vo, ψ = 0,             / = /о +——.

3.34. Прямолинейная трубка О А может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку О. В трубке находится шарик массы т, соединённый с точкой О при помощи пружины. Упругая сила пружины пропорциональна её удлинению, причём коэффициент пропорциональности равен с. Когда трубка вращается с постоянной угловой скоростью ω₀, шарик находится в положении относительного равновесия М₀. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J. Найти период малых колебаний, которые будет совершать шарик около положения М₀, если ему сообщить небольшую относительную скорость вдоль трубки.

3.32. К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маят- () ник, причём

М

^т1 =^т2 = у, h =h = 1.

3.35. Трубка, имеющая форму окружности радиуса а, может вращаться без трения вокруг вертикального диаметра АВ; момент инерции трубки относительно диаметра равен J. В трубке может перемещаться без трения материальная точка массы т. Когда трубка вращается с постоянной скоростью ω₀, точка находится в положении относительного равновесия М₀ , причём аАОМ₀ = а₀. Найти период колебаний около положения М₀,

которые будет совершать точка, если ей сообщить небольшую относительную скорость, направленную по касательной к трубке.

4.    Канонические уравнения Гамильтона. Метод Якоби

4.1. По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, может двигаться точка массы т. 1) Найти общее решение канонических уравнений движения точки. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Получить решение методом Якоби. За обобщённую координату принять х — расстояние точки до оси вращения.

т ш

4.2. Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол |. В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

4.3. Шарик массы т, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние

между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ν₀. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

4.4. Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

х = г(в + sin#),

у = —г( 1 + cos θ'), расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, υ = υ₀ .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s =

. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

4.5. Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса г, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине υ₀ и составляет угол а с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

4.6. Точка М массы т = 1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса с углом раствора 2а = | под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональной расстоянию: F = с · ОМ Н, где с = 1 Н/м. В начальный момент точка М находится в точке А, расстояние ОА равно а = 2 м, начальная скорость υ₀ = 2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Найти движение точки М методом Якоби. Положение ческими координатами ζ, г и φ.

точки М задать цилиндри-

4.7. Точка массы т движется по неподвижной прямой Ох под действием силы F = —схе_х (линейный осциллятор). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

4.8. Материальная точка движется по прямой под действием сил, силовая функция которых имеет вид:

1 )U =                    ;       2 )U = -(e^-2^ - е^-).

2ch² q

Найти общее решение задач методом Якоби в колебательной области. Нарисовать фазовые портреты.

4.9. Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной скоростью ω. Составить канонические уравнения движения. Найти их первый интеграл. Массой стержня пренебречь.

4.10. Физический маятник массы т вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен J, расстояние от центра масс маятника до оси равно /. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и первые интегралы движения маятника.

4.11. Точка массы т движется по гладкой сфере радиуса R в однородном поле силы тяжести (сферический маятник). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и полный набор первых интегралов канонических уравнений движения. Положение точки задать её сферическими координатами: φ — широта, отсчитываемая от вертикали, направленной вниз, Θ — долгота.

4.12. Две точечные массы т_х и т₂, связанные невесомой пружиной жёсткости с,     т_х

могут двигаться без трения по неподвижному кольцу радиуса г, лежащему на горизонтальной плоскости. Длина пружины в недеформированном состоянии равна I.

1) Найти независимые переменные θ_χ, θ₂,

в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных. 2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

со^к

СЗ

О

В

т т

ОЧ)-

4.13. Два одинаковых шарика массы т, связанные между собой пружиной жёсткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна /), могут скользить без трения по трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. 1) Найти переменные у₁, у₂, в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных.

2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

4.14. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и движение свободной материальной точки по инерции в инерциальной декартовой системе координат методом Якоби.

4.15. Точка массы т движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести (ось у направлена вертикально вверх). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

4.16. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки массы т в однородном поле силы тяжести методом Якоби в декартовых координатах х, у, ζ (ось ζ направлена вверх).

4.17. Тяжёлая точка массы т движется без трения в плоскости ζΟχ, вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси Οζ с постоянной угловой скоростью ω (ось Οζ направлена вверх). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

4.18. Две материальные точки массы т_х и т₂ связаны гибкой нерастяжимой нитью. Точка массы т_х может двигаться по гладкому горизонтальному столу, а точка массы т₂ находится на свисающем конце нити, которая пропущена через небольшое отверстие в столе. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, если точка массы т₂ может двигаться только по вертикали. Выписать первые интегралы канонических уравнений движения.

4.19. Две материальные точки массы т₁ и т₂ связаны между собой упругим стержнем жёсткости с и помещены на гладкую горизонтальную плоскость; стержень не работает на изгиб и на кручение и в нерастянутом состоянии имеет длину I; массой стержня пренебречь. 1) Выписать первые интегралы канонических уравнений движения системы. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и решение задачи методом Якоби. За обобщённые координаты принять х, у — декартовы координаты центра масс, г — длину стержня и φ — угол, определяющий положение стержня.

4.20. Свободная материальная точка массы т движется под действием ньютоновской силы притяжения к неподвижному центру О. Приняв за обобщённые координаты сферические координаты точки г, φ, Θ, найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, выписать полную систему первых интегралов канонических уравнений движения точки. Доказать, что движение плоское, выполняется закон площадей; получить уравнение траектории.

4.21. (Задача двух тел). Сила взаимодействия двух точек массы т₁ и т₂ обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (ньютоновское или кулоновское взаимодействие). Найти полный интеграл уравнений Гамильтона — Якоби; выписать полную систему первых интегралов канонических уравнений движения. В качестве обобщённых координат взять координаты центра масс системы х, у, ζ, расстояние г между точками, а также углы широты и долготы φ и Θ, определяющие в пространстве положение прямой, соединяющей точки. Сравнить полученный ответ с ответом задачи 4.20.

4.22. Однородный стержень массы т и длины 21 движется по гладкой вертикальной плоскости Οξη. Плоскость вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси Οη. Найти движение стержня методом Якоби. За обобщённые координаты принять ξ, η — координаты центра масс стержня и угол φ стержня с вертикалью, направленной вверх.

4.23. Выписать канонические уравнения движения для волчка Лагранжа (см. задачу 2.35). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

4.24. Стержень вращается с постоянной угловой скоростью ω в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня). Найти общее решение канонических уравнений движения колечка массы т, насаженного на стержень

1) непосредственным интегрированием, и 2) методом Якоби; выписать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

4.25. Плоскость Οξη вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной горизонтальной оси Οξ. В плоскости движется однородный стержень массы т и длины /. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби; за обобщённые координаты выбрать ξ и η — координаты центра масс стержня, и φ — угол стержня с осью Οη.

4.26. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения однородного стержня массы т и длины 21 в однородном поле силы тяжести методом Якоби. За обобщённые координаты выбрать х, у, ζ — координаты центра масс стержня, φ — угол стержня с вертикалью, Θ — угол, определяющий положение вертикальной плоскости, в которой расположен стержень.

4.27. Материальная точка М массы т движется под действием двух ньютоновских сил притяжения, центры С₁ и С₂ которых расположены на неподвижной оси, расстояние между ними равно 2с. Найти интегралы канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

За обобщённые координаты принять угол поворота плоскости, определяемой точками М, С₁ и С₂ и эллиптические координаты в этой плоскости

,_^г1 +^Г2                    _^Г1 ^-г2

^λ~ 2с ^{, μ}~ 2 с ^,

где г₁ = С₁М, г₂ = С₂М.

4.28. Для разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для точки в сферических координатах г, θ, φ необходимо и достаточно, чтобы потенциал заданных сил имел вид:

V(r, θ, φ) = R(r) +

Θ(θ) + _r2 +

Φ(φ)

r² sin² θ ’

где R(r), Θ(θ) и Φ(φ) — произвольные функции. Найти полный интеграл.

4.29. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для точки массы т, движущейся в поле с потенциалом

V = -- + k'z

г

(например, наложение полей ньютоновского притяжения к началу координат и однородного поля силы тяжести (к' = mg)).

Указание. За независимые переменные принять параболические координаты ξ, η, φ, которые с цилиндрическими координатами р, ζ, φ связаны так:

Ζ=·2(ξ- η), р = ^ξη, φ = φ.

4.30. Составить уравнение Гамильтона — Якоби и найти его полный интеграл для волчка Лагранжа (А = В ф С, центр тяжести находится на расстоянии I от неподвижной точки) в углах Эйлера: ψ, θ, φ — углы прецесии, нутации и собственного вращения, соответственно. Выписать полную систему первых интегралов канонических уравнений движения волчка.

4.31. Показать справедливость следующего случая интегрируемости (Штеккеля). Пусть даны п(п+1) произвольных функций φ_{^ί) и V_i(q_i) (i = 1,... ,п), для которых определитель Δ = det Ιφ^Ι не равен тождественно нулю. Тогда если кинетическая энергия и потенциальная энергия определяются формулами

Т =

v =

п

Σ^Λ·^ν··

причем

1 3Δ

Δ δφ_η ^,

i = 1,... ,п,

то уравнение Гамильтона — Якоби интегрируется в квадратурах и полный интеграл этого уравнения имеет вид

S = -ht +

Σ И

2hφ_il -2V_t + Σ ^ajVij ^d<lj,

}= 2

где а₁,... ,а_п — произвольные постоянные, а h — постоянная энергии.

4.32. Доказать теорему Лиувилля:

Если кинетическая и потенциальная энергии системы имеет вид

(П                   \ ^п

Σ ^Α)Σ *·*■

ν =

Σΐ=ι Ъ Σ= 4 ’

где Aj, B_t и V_t — функции от одной переменной q_t (i = 1,..., п), то конечные уравнения движения системы могут быть получены с помощью квадратур.

5.    Канонические преобразования. Скобки Пуассона

5.1. Доказать свойства скобок Пуассона:

1)            {F,G} = -{G,F};

2) Если F = φ(fl,...,f_m),то {F ,G} = ^^<^{fi,G}\

i=1

dfi

3) {{F,G},H} + {{H,F},G} + {{G,H},F}= 0;

4> Ь™Н%°) + №)·

5.2.  Вычислить скобки Пуассона {K_j,p_i}, {K_i,K_j}, {K²,Kj}, {x_i,K_j}, i,j = 1,2,3, где x₁, x₂, x₃, p₁, p₂, p₃ — декартовы координаты и компоненты импульса частицы, К₁, К₂, К₃ — компоненты её кинетического момента относительно начала координат, а К² = К2 + К2; + К^.

5.3.  С помощью скобок Пуассона записать канонические уравнения Гамильтона.

5.4.  Показать, что если функция Гамильтона системы не содержит времени явно, и если существует первый интеграл f (t, q, р) = а, явно зависящий от времени, то производные

df d2f dt’ dt²

также являются первыми интегралами канонических уравнений движения.

5.5.  Функция φ^,ρ, t) является первым интегралом канонических уравнений движения системы с циклической координатой q_k. Показать, что функции

3φ 3²φ                  3^ηφ

dq_k^, dq²_k               dqⁿ_k

также будут первыми интегралами уравнений движения.

5.6. Показать, что для системы с функцией Гамильтона

F[ FI⁽f ⁽qι,..., q_m, pi,..., p_m), q_m+i, · · ·, q_n, Pm+i, · · ·, Pn, 0U

функция f(q₁,...,q_m,p₁,...,p_m) является первым интегралом канонических уравнений движения.

5.7. Показать, что для системы с функцией Гамильтона

Н = iϊ½₁(g₁^,.p₁)^,... ,φΜ^ρ^, t⁾

функции φ^ί, Ρί) (/= 1,..., п) являются первым интегралами канонических уравнений движения.

5.8. Показать, что для системы с функцией Гамильтона Н = F(f_n(... f₂(f_l(q_l,p_l),q₂,p₂)),t) функции

fi^PiX Μ/ι-ιΛήΡιΧ i = 2^,.^,nU

являются первыми интегралами канонических уравнений движения.

5.9. Заданы две функции Ж(р, q, t) и φ(q, р, t), удовлетворяющие соотношению

™i₊^{w,_H^} = ^d-% ₊ w,H_]

где {W,H} и {φ,Η} — скобки Пуассона. Построить первый интеграл канонической системы с функцией Гамильтона #(q,p, t), используя функции Ж(q, р, t) и φ(q, р, t).

5.10. Функция Ж(q, р, t) удовлетворяет соотношению +{W,H} = f(t),

где {W,Н} — скобка Пуассона. Построить первый интеграл канонической системы с функцией Гамильтона #(q,p, t), используя функции W(q,p, t) и f(t).

5.11. Пусть функция Гамильтона системы #(q,p) не содержит времени явно, так что канонические уравнения обладают интегралом энергии # = h. Пусть известен ещё один первый интеграл φ = const. Показать, что применение скобок Пуассона для отыскания других интегралов возможно только, если функция φ(ί, q, р) содержит время явно.

5.12. Рассмотреть преобразования

1) Q_t = aq_t, Р_{ = βρ^ i=\,..., η;

2) Qi = apt, P_t = fiq_t, i= 1,..., n;U

3)            Qi = api tg t, Pi = βqi ctg t, i = 1,...,n;U

4)            Q = aq + βp, P = a₁q + fi₁p, αβ₁ - α₁β = 0;U

5)            Q = ^qcos2p, P = ^qsin2p;

проверить их каноничность, найти производящие функции и валентности, а также выражения для новой функции Гамильтона, если старая равна #.

5.13. Показать, что преобразование

Q = (2q)^mk^-m cosр, Р = (2q)^1/2k^1/2 sinр. является каноническим, найти его производящую функцию

5.14. Найти производящую функцию и формулы преобразования импульсов, если задано преобразование декартовых координат в перечисленные ниже: 1) цилиндрические р, φ, ζ; 2) сферические г, φ, Θ; 3) х = q₁-v₁t, у = q₂-v₂t, ζ = q₃-v₃t;4) x = Λ^ξη cos φ, у = \[ξηύηφ, z = 2(ξ- η).

5.15. Показать, что каноническое преобразование, переводящее систему с функцией Гамильтона

H=2(q² +р²)

в систему с

Н = 2_m(Q² + р²)

имеет вид:

Q = wq, Р = р.

5.16. Какому условию должны удовлетворять функции φ_ί и ψ_ί для того, чтобы преобразование

Qi = QMp Pj, t), Pi = ψ{(ρι,..., p_n, t) + ψ^ι,..., q„), i = 1,... ,n

было каноническим преобразованием валентности с?

5.17. Построить каноническое преобразование, переводящее систему с функцией Гамильтона

Найти также валентность с и производящую функцию S этого преобразования.

5.18. Скобки Пуассона функций #i (q, р, t) иН₂(q, р, t) удовлетворяют соотношению {#_λ,Η₂} = 1. Показать, что если функция Гамильтона системы равна

то общее решение соответствующей канонической системы уравнений можно найти, решив относительно q, р систему алгебраических уравнений:

а) Н1 (q, р, t) = c₂ + t, H₂(q, p,t) = c₂ - t;

б) Hi (q, p, t) = ci e‘,        H₂(q, p, t) = c₂e^-t;

в)            Hi(q, p, t) = Ci V2t + c₂, H₂(q,p, t) = ^2t + c₂;

г)            Hi (q, p, t) = ci sin(2t + c₂), H₂(q, p,t) = c₂ cos(2t + c₂).U

Указание. При условиях задачи преобразование

Q = H₁(q,p,t), Р = H₂(q,p, t)

является унивалентным каноническим преобразованием.

5.19. Точка массы т совершает прямолинейное одномерное под действием силы F = —сх, где х — расстояние точки от начала координат. Найти каноническое преобразование к переменным X, Р, в которых функция Гамильтона имеет вид:

Н=2(р² + _m²q²)

(осциллятор) в систему с функцией Гамильтона

Hi = ⁽2{Р² + Q²).

а) = i +                     2; б) = i 2;

в) h = 2L· ; г) н = н2 + Щ,

2

5.20. Найти производящие функции S(t, г, г₀) преобразований, связывающих начальные данные (q₀,p₀) с текущими переменными для 1) линейного осциллятора q = -o>²g; 2) движения точки массы т по инерции в декартовых координатах х, у, z; 3) движения свободной точки массы т в однородном поле силы тяжести в декартовых координатах х, у, z (z — вертикаль, направленная вверх);

5.21. Систему с функцией Гамильтона

Н = (р + q)²e^2(p+^g)1 + 2(р² - q²)e^(p+^g)2 + 2(р² + q²)

подвергнуть преобразованию

Q=p + q, Р = 2p(e^(p+^q)2 + 1) + 2q(e^(p+^g)2 -1).

Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти функцию Гамильтона преобразованной системы.

5.22. Систему с функцией Гамильтона

П                                                               П

^Н = ^αΣ{^2 + ^{(qi -} Yi^tln(PiYi^t))2] + Σ ^{YiPi λη(}Ρί^γί^ΐ)

1=1^У                                                          i=1

подвергнуть преобразованию

Qi = Vi ^- У1*^1п(Р1ГА P = ap_h i = ^1,...^,n.

Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти функцию Гамильтона преобразованной системы.

5.23. Систему с функцией Гамильтона _п = РЯ³

^н-^г

подвергнуть преобразованию

Q - ¹ + ^n(tpq³), Р = pq³

q²

(1 + te*² ).

Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти функцию Гамильтона преобразованной системы.

5.24. Систему с функцией Гамильтона

п /                                    /—         \

Н = - У I arcsin _Л ------------ ---- рЛ

^f h^{( Pl})

подвергнуть каноническому преобразованию

2qit.

Найти функцию Гамильтона преобразованной системы.

о,=-i (a^rc_Sin ^2lT __ft), _Pl =U

Ответы