Участник:Krawler/ММФ

Классификация линейных дифференциальных уравнений

{{w:Шаблон:начало скрытого блока|Заголовок = теория|Рамка = |Фон_заголовка =}} Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,$

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: ${\partial u}/{\partial x}$ и ${\partial u}/{\partial y}$. Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта $D=B^{2}-AC$, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

1. $D=B^{2}-AC\,>0$ — Гиперболическое уравнение,
2. $D=B^{2}-AC\,<0$ — Эллиптическое уравнение,
3. $D=B^{2}-AC\,=0$ — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения. {{w:Шаблон:конец скрытого блока}}