Участник:SSJ/Понятные математически пояснения

Виды функций

Функция в "обычном" смысле - это на вход что угодно, на выход - число. Но в математике чаще функцию понимают в самом общем смысле: на вход, что угодно, на выход что угодно. При этом некоторые частные случаи носят специальные названия, потому что для них работает специальные интуитивные образы, не те же самые, что для функций в "обычном" смысле.

Поле (в анализе нескольких переменных) - это функция, на входе которой точка пространства, а на выходе - число, вектор, или какая-то ещё более сложная штука. Полями (в этом смысле слова, есть ещё алгебраический) описываются физические поля, например, поле гравитации, электрическое поле, поле скоростей жидкости.

Отображение (map) - это функция из пространства в аналогичное пространство. Например, из искривлённого пространства (многообразия) в другое такое многообразие той же размерности, причём разные точки - в разные. Это примерно похоже на то, как одно пространство, как гибкую плёнку, мы надеваем на другое пространство, допуская всякие искажения, но не разрывы. Ещё примерно такой же смысл может носить слово преобразование.

Оператор - это обычно функция из линейного пространства в линейное пространство, причём зачастую в то же самое. Например, оператор может, не сдвигая начала координат, растянуть пространство, повернуть его, сдвинуть наискосок, спроецировать в плоскость. То же самое могут делать операторы, переводящие функции в функции, только здесь надо представлять себе пространство функций как линейное пространство. Например, взятие производной - оператор, проецирующий некоторые векторы в нуль, а другие - некоторым образом поворачивающий.

Функционал - обычно функция, на выходе которой число, а на входе - какая-то другая функция. Такие функционалы изучаются в вариационном исчислении. Другой вариант использования этого термина - линейный функционал - на выходе даёт число, а на входе получает вектор.

Есть и много других важных частных видов функций (изоморфизмы, расслоения), которые встречаются постепенно в своих разделах математики.

источник