Определение.Если , то этот предел называется производной функции в в точке и будет обозначаться
Определение.Функция называется дифференциремой в точке , если в точке .
Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде , где - бесконечно малая при .
Утверждение.Эти два определения эквивалентны. Доказательство аналогично действительному случаю для функции одной переменной. Кроме того .
Теорема.Если функции и дифференцируемы в точке , то:
функция дифференцируема в точке и
функция дифференцируема в точке и
если кроме того , то - дифференцируема в точке и .
Теорема.Пусть сложная функция определена в некоторой окрестности точки (). Пусть функция дифференцируема в точке и . Пусть функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедливо равенство: .
Теорема.Пусть функция отображает взаимно однозначно окрестность точки на некоторую окрестность точки . Пусть функция дифференцируема в точке и обратная к функция непрерывна в точке . Тогда функция дифференцируема в точке и её производная вычисляется как
Доказательства этих теорем аналогичны действительному случаю для функции одной переменной.
Пусть дифференцируема в некоторой окрестности и . Тогда область отображается на некоторую область на плоскости . Рассмотрим приращение соответствует приращению функции . Так как дифференцируема в точке , то при слагаемое - бесконечно малое более высокого порядка чем . Если то есть модуль производной есть коэффициент растяжения при отображении . Если - растяжение, - сжатие. Величина есть угол поворота при отображении . Если рассматривать произвольную гладку кривую проходящую через точку , то есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление каcательной к образу этой кривой в точке
Теорема.Функция дифференцируема в точке функции и дифференцируемы в точке и в этой точке выполняются условия Коши-Римана:
Доказательство. дифференцируема в точке , где - бесконечно малая при , обозначим
.
Обозначим
Устремим функции дифференцируемы в точке , причем выполненяется условие Коши-Римана.
Функции и дифференцируемы в точке .
Обозначим .
Обозначим . Тогда из условия Коши-Римана .
. Заметим, что
дифференцируема в точке .
Определение.Функция называется аналитичной в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки . ( определена на и )
Определение.Функция аналитична в области , если она аналитична в каждой точке области .
Замечание.Если функция аналитична в точке, то она дифференцируема в этой точке (следует из определения). Обратное не верно: функция, дифференцируемая в точке может быть не аналитичной в этой точке.