Функции комплексного переменного

Пусть определена в

Определение. Если , то этот предел называется производной функции в в точке и будет обозначаться


Определение. Функция называется дифференциремой в точке , если в точке .


Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде , где - бесконечно малая при .


Утверждение. Эти два определения эквивалентны. Доказательство аналогично действительному случаю для функции одной переменной. Кроме того .


Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , то:
  1. функция дифференцируема в точке и
  2. функция дифференцируема в точке и
  3. если кроме того , то - дифференцируема в точке и .
Теорема. Пусть сложная функция определена в некоторой окрестности точки (). Пусть функция дифференцируема в точке и . Пусть функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедливо равенство: .
Теорема. Пусть функция отображает взаимно однозначно окрестность точки на некоторую окрестность точки . Пусть функция дифференцируема в точке и обратная к функция непрерывна в точке . Тогда функция дифференцируема в точке и её производная вычисляется как

Доказательства этих теорем аналогичны действительному случаю для функции одной переменной.

Геометрический смысл

править

Пусть   дифференцируема в некоторой окрестности   и  . Тогда область   отображается на некоторую область   на плоскости  . Рассмотрим   приращение   соответствует приращению   функции  . Так как   дифференцируема в точке  , то   при   слагаемое   - бесконечно малое более высокого порядка чем  . Если   то есть модуль производной   есть коэффициент растяжения при отображении  . Если   - растяжение,   - сжатие. Величина   есть угол поворота при отображении  . Если рассматривать произвольную гладку кривую   проходящую через точку  , то   есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой   в точке  , чтобы получить направление каcательной к образу   этой кривой в точке  

Теорема. Функция   дифференцируема в точке   функции   и   дифференцируемы в точке   и в этой точке выполняются условия Коши-Римана:
 
Доказательство.     дифференцируема в точке  , где   - бесконечно малая при  , обозначим  

 

 
 

 .

Обозначим  

Устремим   функции   дифференцируемы в точке  , причем   выполненяется условие Коши-Римана.

  Функции   и   дифференцируемы в точке  .

Обозначим  .

Обозначим  . Тогда из условия Коши-Римана  .

 . Заметим, что  

  дифференцируема в точке  .


Определение. Функция   называется аналитичной в точке  , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки  . (   определена на   и   )


Определение. Функция аналитична в области  , если она аналитична в каждой точке области  .


Замечание. Если функция аналитична в точке, то она дифференцируема в этой точке (следует из определения). Обратное не верно: функция, дифференцируемая в точке может быть не аналитичной в этой точке.