Рассмотрим . Так как функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка в , то функцию можно разложить по формуле Тейлора в точке до первого порядка
, где
.
Так как - непрерывна в непрерывна в точке , где - бесконечно малая функция при
Обозначим
- бесконечно малая функция при .
Пусть , где .
Получаем: лежит на - сфере единичного радиуса с центром в начале координат. - компакт. - непрерывна на компакте она достигает на нём своей точной нижней грани .
. В случае если A - положительно определённая квадратичная форма, имеем:
Так как - бесконечно малая при для в точка локального минимума. Аналогично доказывается что если , то - точка локального максимума.
Доказательство в случае, если - отрицательно определённая квадратичная форма, можно провести аналогично.
Рассмотрим отдельно третий возможный случай, когда - знакопеременная квадратичная форма. В рассматриваемом ограничении окрестности точки на единичную сферу, квадратичная форма A имеет точную нижнюю грань и точную верхнюю грань , такие, что . Взяв соотвествующие точки , такие что , получим:
, и в то же время: . Отсюда видно что правая часть уравнений меняет знак, значит в точке экстремума нет.