RNAInSpace/Сферическое кратчайшее расстояние

Задача

Есть координаты двух точек в пространстве. Нужна функция, которая возвращает "расстояние", которое по поверхности сферы более короткое, чем при отклонении от поверхности сферы.

Расстояние между двумя точками на сфере - известно как считать, но вопрос в том, как сделать так, чтобы:

1. его преобразовать через функцию так, чтобы оно было меньше, чем по прямой
2. а точнее ПОСТЕПЕННО увеличивалось бы, если отклоняется от траектории по поверхности сферы

Ответ

Расстояние между точками (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) с нужными свойствами выглядит так:

 r1=sqrt(x1*x1+y1*y1+z1*z1);
 r2=sqrt(x2*x2+y2*y2+z2*z2);
 a=acos((x1*x2+y1*y2+z1*z2)/r1/r2);
 b=ln(r1/r2);
 return sqrt(a*a+b*b);

То есть, мы вычисляем центральный угол между точками, логарифм отношения их расстояний до центра и возвращаем корень из суммы их квадратов. Для точек на сфере «расстояние» будет равно центральному углу между ними, а если мы от сферы отойдём, то расстояние увеличится.

Расстояние между двумя точками на сфере

См. также: w:Сферическая система координат.

• • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

    ${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

  • Обратно, от декартовых к сферическим:

    ${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}$

См. также: w:Сфера.

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}).$

См. также

• Сферическая система координат