Неопределённый интегра́л для функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
первообразных данной функции.
Если функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)\,}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b\,}
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,\,}
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b\,}
где С — произвольная постоянная.
d
(
∫
f
(
x
)
d
x
)
=
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}
∫
d
(
F
(
x
)
)
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}
∫
a
⋅
f
(
x
)
d
x
=
a
⋅
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx}
∫
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
±
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}
Если
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
∫
f
(
u
)
d
u
=
F
(
u
)
+
C
{\displaystyle \int f(u)du=F(u)+C}
u
=
φ
(
x
)
{\displaystyle u=\varphi (x)}
править
править
1. Метод введения нового аргумента. Если
∫
g
(
x
)
d
x
=
G
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,\,}
то
∫
g
(
u
)
d
u
=
G
(
u
)
+
C
,
{\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,\,}
где
u
=
φ
(
x
)
{\displaystyle u=\varphi (x)\,}
2. Метод разложения. Если
g
(
x
)
=
g
1
(
x
)
+
g
2
(
x
)
,
{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}
то
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
1
(
x
)
d
x
+
∫
g
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,}
3. Метод подстановки. Если
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\,}
x
=
φ
(
t
)
,
{\displaystyle x=\varphi (t),\,}
где
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)\,}
φ
′
(
t
)
{\displaystyle \varphi '(t)\,}
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,}
4. Метод интегрирования по частям .
u
{\displaystyle u\,}
v
{\displaystyle v\,}
x
{\displaystyle x\,}
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.\,}
править
∫
0
⋅
d
x
=
C
;
{\displaystyle \int 0\cdot dx=C;\,}
∫
1
⋅
d
x
=
x
+
C
;
{\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;\,}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,}
(
n
≠
−
1
)
;
{\displaystyle (n\neq -1);\,}
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
;
{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;\,}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
,
{\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,}
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
;
{\displaystyle (a>0,a\neq 1);\,}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
;
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
;
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}
∫
d
x
cos
2
x
=
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,}
∫
d
x
sin
2
x
=
−
c
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,}
∫
d
x
1
−
x
2
=
arcsin
x
+
C
=
−
arccos
x
+
C
′
(
C
′
=
π
2
+
C
)
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,}
∫
d
x
1
+
x
2
=
a
r
c
t
g
x
+
C
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,}
∫
c
h
x
d
x
=
s
h
x
+
C
;
{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,}
∫
s
h
x
d
x
=
c
h
x
+
C
;
{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,}
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа
C
{\displaystyle C\,}
Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.
Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики). 
