Любой параллелепипед
O
A
D
B
C
A
′
D
′
B
′
{\displaystyle OADBCA'D'B'}
a
=
O
A
→
{\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}}
b
=
O
B
→
{\displaystyle \mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}}
c
=
O
C
→
{\displaystyle \mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}}
Найдем выражение объема через координаты векторов в ортонормированном базисе.
Объем параллелепипеда определяется по формуле
V
=
S
Π
(
a
,
b
)
⋅
h
=
|
a
|
|
b
|
sin
φ
⋅
|
c
|
cos
ψ
{\displaystyle V=S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}\cdot h=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \varphi \cdot |\mathbf {c} |\cos \psi }
φ
{\displaystyle \varphi }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
ψ
{\displaystyle \psi }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
V
=
|
a
|
|
b
|
|
c
|
sin
φ
cos
ψ
=
|
a
|
|
b
|
|
c
|
cos
ψ
1
−
cos
2
φ
=
|
a
|
|
b
|
|
c
|
|
c
⋅
(
a
×
b
)
|
|
c
|
|
(
a
×
b
)
|
1
−
(
a
⋅
b
)
2
|
a
|
2
|
b
|
2
=
=
|
c
⋅
(
a
×
b
)
|
|
a
|
2
|
b
|
2
−
(
a
⋅
b
)
2
|
(
a
×
b
)
|
=
|
c
⋅
(
a
×
b
)
|
S
Π
(
a
,
b
)
S
Π
(
a
,
b
)
=
|
c
⋅
(
a
×
b
)
|
=
|
(
a
×
b
)
⋅
c
|
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \varphi \cos \psi =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\cos \psi {\sqrt {1-\cos ^{2}\varphi }}=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |{\frac {|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{|\mathbf {c} ||(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}{\sqrt {1-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}{|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}}}}=\\&=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|{\frac {\sqrt {|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}{|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|{\frac {S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}{S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}}=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |\end{aligned}}}
Пусть координаты векторов
a
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}}
b
=
{
b
1
,
b
2
,
b
3
}
{\displaystyle \mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}}
c
=
{
c
1
,
c
2
,
c
3
}
{\displaystyle \mathbf {c} =\{c_{1},c_{2},c_{3}\}}
a
×
b
=
{
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
,
−
|
a
1
a
3
b
1
b
3
|
,
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
}
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\{{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}},-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\right\}}
V
=
|
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
c
1
−
|
a
1
a
3
b
1
b
3
|
c
2
+
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
c
3
|
{\displaystyle V={\Bigg |}{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}{\Bigg |}}
Рассмотрим выражение
V
′
=
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
c
1
−
|
a
1
a
3
b
1
b
3
|
c
2
+
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
c
3
{\displaystyle V'={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}}
det
[
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
]
=
|
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
|
=
a
1
b
2
c
3
+
a
2
b
3
c
1
+
a
3
b
1
c
2
−
a
1
b
3
c
2
−
a
2
b
1
c
3
−
a
3
b
2
c
1
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}}
В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}}
Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак
V
′
{\displaystyle V'}
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}
Величина, по модулю совпадающая с объемом параллелепипеда, а по знаку — с ориентацией тройки векторов, определяющих его, называется ориентированным объемом параллелепипеда .
В ортонормированной системе координат ориентированный объем вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелепипед.
