Основы компьютерной графики/§2

2D-Преобразования

Начнем 2D-преобразования, т.е. преобразования на плоскости. допустим у нас есть точка P с координатами x,y P=(x,y,)
у нас есть некий оператор T, который равен $T={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ и наша точка, после воздействия на неё оператором Т перейдет уже в другие координаты $P^{*}=PT$ они будут равны $P^{*}=(ax+yc;bx+dy)=(x^{*},y^{*})$

Рассмотрим некоторые операторы преобразования:

• $T={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ - отразить по оси Х

• $T={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ - Ничего не делать =)))

• $T={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ - масштабирование по Х

• $T={\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}$ - Сдвиг , т.е. $(x,bx+y)$

увы графиков пока не будет, я не могу загрузить картинку что-то мне не позволяет, эх, надеюсь потмо можно будет загрузить и все будет красивее))

теперь возьмём для примера уже не точку, а отрезок $L={\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\end{pmatrix}}$

Пусть для конкретности $P_{1}=(1,1)$ $P_{2}=(2,3)$ тогда $L={\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}}$ и исходя их преобразования для точки, сделаем тоже самое для отрезка. $LT=L^{*}$, где $T={\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{pmatrix}}$ Тогда:

$L^{*}=LT={\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax_{1}+cy_{1}&bx_{1}+dy_{1}\\ax_{2}+cy_{2}&bx_{2}+dy_{2}\end{pmatrix}}$

Отсюда видно, что это верно для любой точки на плоскости. если мы просчитаем отдельно $P_{1}$ и $P_{2}$ то получим такой же результат.

рассмотрим пример: $T={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$ $L_{1}={\begin{pmatrix}2&1\\2&4\end{pmatrix}}$ и $L_{2}={\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}}$

$L_{1}^{*}=L_{1}T={\begin{pmatrix}2&5\\2&8\end{pmatrix}}$

$L_{2}^{*}=L_{2}T={\begin{pmatrix}1&6\\3&8\end{pmatrix}}$

Поворот

Теперь рассмотрим Матрицу поворота $T={\begin{pmatrix}\cos {\phi }&\sin {\phi }\\-\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{pmatrix}}$ Поворот на 90° градусов можно осуществить с помощью такой вот матрицы $T={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ что соответствует $\phi =\pi /2$

$T_{90}=T_{-90}^{T}=T_{-90}^{-1}$ → $T_{\phi }$ - ортогональный оператор

Перейдем к однородным координатам

• $p=(x^{'},y^{'},h)$
• $x=x^{'}/h$
• $y=y^{'}/h$

$x^{*}=x+m$ и $y^{*}=y+n$ отсюда ${\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\n&m&1\end{pmatrix}}$ - для переноса

• $T_{m,n}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-n&-m&1\end{pmatrix}}$

• $T_{m,n}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\n&m&1\end{pmatrix}}$

• $T_{\phi }={\begin{pmatrix}\cos {\phi }&\sin {\phi }&0\\-\sin {\phi }&\cos {\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

и наконец выведем оператор поворота R для произвольной точки : $R=TT_{\phi }T^{-1}$ $R=TT_{\phi }T^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-n&-m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\n&m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\phi }&\sin {\phi }&0\\-\sin {\phi }&\cos {\phi }&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos {\phi }&\sin {\phi }&0\\-\sin {\phi }&\cos {\phi }&0\\m-m\cos {\phi }+n\sin {\phi }&n-m\sin {\phi }-n\cos {\phi }&1\end{pmatrix}}$

Преобразование единичного квадрата

Возьмем например квадрат с вершинами A,B,C,D и запишем для него матрицу, возьмем для наглядности числа ${\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ и оператор T - матрица преобразования. $T={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ Тогда :

${\begin{pmatrix}A^{*}\\B^{*}\\C^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\a&b\\a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}}$

Вообще не трудно догадаться, исходя из координат, что это единичный квадрат, а следовательно его площадь равна единице S=1. Если же мы подействуем на этот квадрат оператором Т, то площадь такого "Квадрата" (скорее уже просто четырехугольника) будет равна $S^{*}=det{T}\cdot S$

Рассмотрим оператор преобразования, в более широком смысле т.е. $T={\begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\m&n&s\end{pmatrix}}$

Что же мы тут видим вглядывается старая матрица a,b,c,d, эти элементы отвечают все так же за отображение, за масштабирование по оси, за сдвиг... , ничего не поменялось. Теперь рассмотрим дополнительные элементы: m,n - они отвечают за перенос начала координат (m за x, n за y); Элемент s - отвечает за масштабирование, но не так как в прошлом варианте, а сразу по всем координатам. ну и наконец p,q - они впринцыпе отвечают за перспективу, т.ч. в 2D преобразованиях это не очень можно вообразить и объяснить.