Основы компьютерной графики/§3

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

3D преобразования

Тут все почти так же как и в 2D преобразованиях, тока с добавлением еще одного измерения (еще одной оси координат) будем проводить аналогию:

Смотрим матрицу преобразования имеет такой вид : $T={\begin{pmatrix}a&b&c&p\\d&e&f&q\\g&i&j&r\\l&m&n&s\end{pmatrix}}$ не стоит пугаться такого обилия буковок, тут все так же как и двухмерных преобразованиях а именно:

1) Линейное преобразование. За него отвечают (a,b,c,d,e,f,g,i,j)

• Поворот
• Сдвиг
• Масштабирование
• Отражение

2) Афильные (Евклидовы) преобразования. За них отвечают (l,n,m) соответственно раз 3 координаты (x,y,z) то и у нас 3 элемента матрицы отвечают за это.

• Перемещение

3) Проективные (начертательные) преобразования

посмотрим несколько примеров:

• $T={\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ масштабирование по осям. по оси X в 2 раза, по оси Y в 3 раза, Z - не изменяется.

• Для отражения от плоскости OYX : (x y z 1) → (x y -z 1) (т.е. в матрице преобразования поменять знак у элемента j), для такого же отражения по OXZ : (x y z 1) → (x -y z 1) (элемент с). Возьмём более сложный случай "Вывернуть наизнанку" т.е. отразить по всем 3ем осям - это делается : $T=T_{perenos}T_{otrazhenie}T_{perenos}^{-1}$

• Повороты : $R_{x}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\0&-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ вокруг оси X и $R_{y}={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&0&-\sin {\theta }&0\\0&1&0&0\\\sin {\theta }&0&\cos {\theta }&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ вокруг оси Y → Для поворота вокруг произвольной прямой нужно выполнить: $T=T_{perem}T_{povor}R_{k}T_{povor}^{-1}T_{perem}^{-1}$, где R матрица поворота для той оси, на который вы перенесёте.

• Сдвиг - все не диагональные элементы b,c,d,f,g,i
• Перемещение - l,m,n,
• Проекция - это афильное преобразование в нем участвуют все элементы кроме p,q,r,s т.е. $T={\begin{pmatrix}a&b&c&0\\d&e&f&0\\g&i&j&0\\l&m&n&1\end{pmatrix}}$ Например, если нам нужно спроецировать на плоскость Z=0 то матрица преобразования будет выглядеть следующим образом $T_{z=0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$