Понятие вектора/Задачи

Примеры решения задач

Определение равенства векторов

Это класс задач, которые сводятся к вопросу «равны ли данные векторы». Большинство данных задач являются учебными, направленными на закрепление понимания темы. Как правило, на практике такие задачи в чистом виде не встречаются.

Чтобы доказать, что два вектора равны необходимо доказать, что они параллельны, одинаково направленны и их длины равны.

Пример 1

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Середины его сторон — точки $O,P,Q,R$.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то векторы, лежащие на этих сторонах равны. При этом ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}\neq {\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {CD}}$, ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}\neq {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {DA}}$

Поскольку точки $O$ и $Q$ делят стороны $AB$ и $CD$ пополам, то равны длины отрезков $|AO|=|OB|=|CQ|=|QD|$. Также эти отрезки лежат на параллельных прямых. Учитывая направление отрезков можно написать

${\overrightarrow {AO}}={\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {DQ}}={\overrightarrow {QC}}$

${\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {BO}}={\overrightarrow {QD}}={\overrightarrow {CQ}}$

Поскольку равны и параллельны отрезки $OB$ и $QD$, a также $BP$ и $RD$, то треугольники $\triangle OBP$ и $\triangle QDR$ равны, а стороны $OP$ и $QR$ равны и параллельны. Следовательно ${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {RQ}}\neq {\overrightarrow {PO}}={\overrightarrow {QR}}$.

Свойства равенства векторов

Это задачи на доказательства каких-либо свойств равенства векторов.

Пример 2

Доказать рефлексивность и симметричность равенства векторов. Рефлексивность. Очевидно, что любой направленный отрезок параллелен самому себе, одинаково направлен и имеет одну длину. Это значит, что он равен самому себе.

Симметричность. Если ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$, то направленный отрезок ${\overrightarrow {AB}}$ параллелен отрезку ${\overrightarrow {CD}}$, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину. Очевидно, что отрезок ${\overrightarrow {CD}}$ также параллелен отрезку ${\overrightarrow {AB}}$, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину, что равносильно ${\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {AB}}$.

Пример 3

Пусть направленные отрезки ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {DC}}$ равны и не лежат на одной прямой.

Доказать, что $ABCD$ — параллелограмм.

В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, так как ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}$.

Углы $\angle BAC=\angle ACD$ по свойству параллельных прямых.

Треугольники $\triangle ABC=\triangle ACD$, так как $AB=CD$, $\angle BAC=\angle ACD$, сторона $AC$ — общая.

Из равенства треугольников следует, что равны углы $\angle ACB=\angle CAD$. По свойству параллельных это значит, что $AD\|BC$.

В четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, значит этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

Равенство векторов

Дан параллелепипед $ABCDA'B'C'D'$ и точки $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$, делящие пополам стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $AA'$, $CC'$, $A'B'$, $B'C'$, $C'D'$, $D'A'$ соответственно (см. рисунок).

Какие равенства из перечисленных ниже верны?

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$	${\overrightarrow {HE}}={\overrightarrow {D'C'}}$	${\overrightarrow {ID'}}={\overrightarrow {BJ}}$	${\overrightarrow {ID}}={\overrightarrow {BJ}}$
${\overrightarrow {FG}}={\overrightarrow {LM}}$	${\overrightarrow {EC}}={\overrightarrow {MA'}}$	${\overrightarrow {NI}}={\overrightarrow {JF}}$	${\overrightarrow {KB'}}={\overrightarrow {DG}}$
${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {A'D'}}$	${\overrightarrow {AF}}={\overrightarrow {A'L}}$	${\overrightarrow {DB}}={\overrightarrow {ML}}$	${\overrightarrow {DC'}}={\overrightarrow {AB'}}$

Свойства равенства векторов

1. Доказать транзитивность равенства векторов.
2. Доказать, что для любых трёх точек $A$, $B$, $C$ существует единственная точка $D$ такая, что ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$.
3. Доказать, что если ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.