Базисом в пространстве (на плоскости) называется тройка (пара) линейно независимых векторов.
Теорема
Всякий вектор пространства (плоскости) однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов соответствующего базиса.
Доказательство
Существование. Пусть — базис, — произвольный вектор. Четыре вектора всегда линейно зависимы, поэтому существует нетривиальная линейная комбинация . Пусть . Тогда — нетривиальная линейная комбинация, что противоречит условию линейной независимости векторов базиса. Значит и существует линейная комбинация
.
Единственность. Предположим обратное. Пусть имеется две различные тройки и , причем
Тогда — нетривиальная линейная комбинация, что противоречит условию линейной независимости базиса.
Координатами точки называется набор чисел, однозначно определяющий эту точку.
На плоскости для однозначного задания точки достаточно двух чисел, в пространстве — трех.
Под системой координат понимают правило, ставящее в соответствие каждой точке пространства определенный набор координат.
Выделяют следующие важные системы координат:
Аффинная. Если в пространстве выбран репер (произвольная точка и базис ), то говорят, что задана аффинная система координат. Координатами точки относительно этой системы координат называются координаты вектора относительно базиса .
Прямоугольная (ортогональная). Аффинную систему координат называют ортогональной, если векторы базиса перпендикулярны друг другу.
Ортонормированная. Аффинную систему координат называют ортонормированной, если система ортогональна и длины векторов равны единице.
На плоскости аффинная система координат задается аналогично, только базис является двухэлементным.
Цилиндрическая система координатСферическая система координат
Полярная. Полярная система координат на плоскости задается точкой, называемой полюсом, и исходящем из полюса лучом, называемым полярной осью. Координатами точки называются длина вектора и угол между полярной осью и вектором . Расстояние называют радиусом, а угол полярным углом. У полюса , а не определен. У остальных точек полярный угол определен с точностью до слагаемого кратного . Это значит, что пары чисел и , где — любое целое число, представляют координаты одной и той же точки. В пространстве полярная система обобщается двумя способами. В обоих случаях дополнительно задается единичный вектор , перпендикулярный полярной оси. Рассматривается точка — проекция точки на плоскость , проведенную через точку перпендикулярно вектору .
Цилиндрическая. В качестве координат точки рассматривают полярные координаты вектора на плоскости и длину вектора .
Сферическая. Координатами точки называются длина вектора , угол между вектором и полярной осью и угол между векторами и .
Пусть на плоскости дана прямая и прямая , непараллельная ей.
Тогда через произвольную точку плоскости можно провести прямую , параллельную прямой .
Она пересекает прямую в точке , которую называют проекцией точкина прямуювдоль прямой.
Если прямые и перпендикулярны, то проекцию называют прямоугольной.
Аналогично, пусть в пространстве даны прямая и плоскость , непараллельная ей.
Тогда для любой точки пространства определены:
проекцияна прямуювдоль плоскости — точка пересечения прямой с плоскостью , проведенной через точку параллельно плоскости ;
проекцияна плоскостьвдоль прямой — точка пересечения плоскости с прямой , проведенной через точку параллельно прямой .
Если прямая перпендикулярна плоскости , то проекцию называют прямоугольной.
Пусть дан вектор . Отложим его от некоторой точки , получится вектор . Спроектируем начало и конец вектора на прямую вдоль прямой (плоскости ), получим точки . Вектор называется проекцией вектора на прямуювдоль прямой (плоскости ), обозначается .
Проверим корректность этого определения, то есть независимость вектора от выбора точки .
Рассмотрим случай плоскости. Для этого спроектируем вектор на прямую . Получим вектор . Ясно, что по построению или
.
Чтобы определение проекции не зависело от точки достаточно показать, что разложение вектора в виде суммы векторов, параллельных прямым и единственно. Возьмем другое такое представление:
Тогда
Значит векторы и линейно зависимы, а значит коллинеарны. С другой стороны, первый из этих векторов параллелен прямой , а второй — прямой . Это возможно только тогда, когда оба эти вектора нулевые. Значит, разложение вектора на плоскости в виде суммы двух векторов, параллельных двум пересекающимся прямым, единственно.
Аналогично можно доказать, что в пространстве единственно разложение вектора в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен прямой, а второй — плоскости, пересекающейся с данной прямой.
Рассмотрим базис .
Проекцией вектора на вектор параллельно вектору называется вектор , где прямые и параллельны векторам и соответственно.
Можно записать
С другой стороны, поскольку векторы и параллельны, то можно записать . Число называют алгебраическим значением проекции вектора на вектор параллельно вектору .
Получается, что
Другими словами, координаты вектора относительно базиса — это алгебраические значения проекций вектора на векторы .
В пространстве
Рассмотрим базис . Построим плоскости такие, что
параллельна векторам и
параллельна векторам и
параллельна векторам и
Назовем эти плоскости базисными.
Рассмотрим разложение вектора по векторам базиса
Вектор параллелен вектору , а вектор параллелен плоскости . Поэтому . Аналогично, и .
Таким образом, координаты вектора относительно базиса — это алгебраические значения проекций вектора на базисные векторы параллельно базисным плоскостям.
