Непрерывные случайные величины
править
Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {d} t}
Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.
Из определения следует, что
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=F'(x)}
Важным свойством плотности распределения является
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=1}
Вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
{\displaystyle X}
[
a
,
b
)
{\displaystyle [a,b)}
P
(
a
≤
X
<
b
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {P} (a\leq X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
Для непрерывной случайной величины верно равенство
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
P
(
a
<
X
<
b
)
=
P
(
a
≤
X
<
b
)
{\displaystyle \mathbf {P} (a\leq X\leq b)=\mathbf {P} (a<X\leq b)=\mathbf {P} (a<X<b)=\mathbf {P} (a\leq X<b)}
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
править
Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
M
X
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathbf {M} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm {d} x}
Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид
D
X
=
∫
−
∞
+
∞
(
x
−
M
X
)
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathbf {M} X)^{2}f(x)\mathrm {d} x}
Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу
D
X
=
∫
−
∞
+
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
−
(
M
X
)
2
{\displaystyle \mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}}
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
σ
X
=
D
X
{\displaystyle \sigma X={\sqrt {\mathbf {D} X}}}
Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины .
Случайная величина
X
{\displaystyle X}
F
(
x
)
=
{
0
,
x
≤
2
,
1
2
x
−
1
,
2
<
x
≤
4
,
1
,
x
>
4
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 2,\\{\frac {1}{2}}x-1,&\quad 2<x\leq 4,\\1,&\quad x>4\end{cases}}}
Найти:
Плотность распределения;
P
(
1
<
X
<
3
)
,
M
X
,
D
X
{\displaystyle \mathbf {P} (1<X<3),\mathbf {M} X,\mathbf {D} X}
Решение:
1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
=
{
0
,
x
≤
2
,
1
2
,
2
<
x
≤
4
,
0
,
x
>
4
{\displaystyle f(x)=F'(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 2,\\{\frac {1}{2}},&\quad 2<x\leq 4,\\0,&\quad x>4\end{cases}}}
2. Будем использовать формулу
P
(
a
<
X
<
b
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathbf {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
P
(
1
<
X
<
3
)
=
∫
1
3
f
(
x
)
d
x
=
∫
1
2
0
d
x
+
∫
2
3
1
2
d
x
=
1
2
{\displaystyle \mathbf {P} (1<X<3)=\int \limits _{1}^{3}f(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{1}^{2}0\mathrm {d} x+\int \limits _{2}^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}}
Также вероятность можно было найти с помощью формулы
P
(
a
<
X
<
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
1
2
−
0
=
1
2
{\displaystyle \mathbf {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)={\frac {1}{2}}-0={\frac {1}{2}}}
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X
{\displaystyle X}
{\displaystyle \quad }
M
X
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
2
4
x
1
2
d
x
=
3
{\displaystyle \mathbf {M} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{2}^{4}x{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x=3}
D
X
=
∫
−
∞
+
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
−
(
M
X
)
2
=
∫
2
4
x
2
1
2
d
x
−
(
M
X
)
2
=
28
3
−
9
=
1
3
{\displaystyle \mathbf {D} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}=\int \limits _{2}^{4}x^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} x-(\mathbf {M} X)^{2}={\frac {28}{3}}-9={\frac {1}{3}}}
Случайная величина
X
{\displaystyle X}
f
(
x
)
=
{
0
,
x
≤
0
,
c
x
2
,
0
<
x
≤
3
,
0
,
x
>
3
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\cx^{2},&\quad 0<x\leq 3,\\0,&\quad x>3\end{cases}}}
Найти:
постоянную
c
{\displaystyle c}
функцию распределения Решение:
1. Для нахождения постоянной
c
{\displaystyle c}
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∫
−
∞
0
0
d
x
+
∫
0
3
c
x
2
d
x
+
∫
3
+
∞
0
d
x
=
1
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} x+\int \limits _{0}^{3}cx^{2}\mathrm {d} x+\int \limits _{3}^{+\infty }0\mathrm {d} x=1}
Отсюда
∫
0
3
c
x
2
d
x
=
c
x
3
3
|
0
3
=
c
27
3
=
1
{\displaystyle \int \limits _{0}^{3}cx^{2}\mathrm {d} x=c{\frac {x^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=c{\frac {27}{3}}=1}
c
=
3
27
{\displaystyle c={\frac {3}{27}}}
2. Согласно определению,
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\mathrm {d} t}
Тогда:
Для
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
0
d
t
=
0
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}0\mathrm {d} t=0}
f
(
t
)
=
0
{\displaystyle f(t)=0}
t
≤
x
{\displaystyle t\leq x}
Для
0
<
x
≤
3
{\displaystyle 0<x\leq 3}
F
(
x
)
=
∫
−
∞
0
0
d
t
+
∫
0
x
3
27
t
2
d
t
=
3
27
t
3
3
|
0
3
=
1
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{x}{\frac {3}{27}}t^{2}\mathrm {d} t={\frac {3}{27}}{\frac {t^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=1}
Для
x
>
3
{\displaystyle x>3}
F
(
x
)
=
∫
−
∞
0
0
d
t
+
∫
0
3
3
27
t
2
d
t
+
∫
3
x
0
d
t
=
3
27
t
3
3
|
0
3
=
1
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{0}0\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{3}{\frac {3}{27}}t^{2}\mathrm {d} t+\int \limits _{3}^{x}0\mathrm {d} t={\frac {3}{27}}{\frac {t^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{3}=1}
Таким образом, функция распределения имеет вид
F
(
x
)
=
{
0
,
x
≤
0
,
x
3
27
,
0
<
x
≤
3
,
1
,
x
>
3
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&\quad x\leq 0,\\{\frac {x^{3}}{27}},&\quad 0<x\leq 3,\\1,&\quad x>3\end{cases}}}
