Теория вероятностей и математическая статистика/Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины

править

Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция  , для которой выполняется соотношение  .

Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.

Из определения следует, что  .

Важным свойством плотности распределения является  .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина   примет значение из отрезка  , равна  .

Для непрерывной случайной величины верно равенство  

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

править

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле  .

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид  

Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу  

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле  

Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины.

Примеры

править

Пример 1

править

Случайная величина   задана функцией распределения  

Найти:

  1. Плотность распределения;
  2.  .

Решение:

1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей  

2. Будем использовать формулу  . Искомая вероятность равна  .

Также вероятность можно было найти с помощью формулы  .

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины  :   ;

 .

Пример 2

править

Случайная величина   задана плотностью распределения  

Найти:

  1. постоянную  
  2. функцию распределения

Решение:

1. Для нахождения постоянной   воспользуемся свойством плотности  . Подставляя в формулу явный вид  , получим уравнение  .

Отсюда  . Значит,  .

2. Согласно определению,  

Тогда:

  1. Для   получим  , так как   для  .
  2. Для   получим  .
  3. Для   получим  .

Таким образом, функция распределения имеет вид  

Упражнения

править

1 Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция   является плотностью распределения случайной величины

 
 
 

2 Какой вид имеет дисперсия непрерывной случайной величины?