Уравнения первого порядка

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку ДУ первого порядка - частный случай уравнения n-ого порядка, определения общего решения, интеграла ДУ см. в разделе определений следующей главы

ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах

править

 ,   - задана в   и непрерывна в  . Пусть  

Определение. Функция  , заданная на   называется решение ДУ  , если она обладает следующими свойствами:
  1.  
  2.  
  3.  


Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.

Уравнения в полных дифференциалах. Линейные уравнения.

править
 
Определение. Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая (или просто дифференцируемая??[источник?]) в области   функция   такая, что  ,   . Тогда общий интеграл такого уравнения имеет вид:  .


Теорема. Пусть функции   заданные в окрестности точки   и непрерывны. Тогда уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах   в  .
Доказательство. Необходимость: Пусть (1) - уравнение в полных дифференциалах   дифференцируемая функция  .

 . Смешанные производные совпадают  

Достаточность. Предположим, что    .  .

 


Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения

править

Уравнения вида   называется уравнением с разделёнными переменными. Это частный случай уравнения в полных дифференциалах:  ,  

 

Уравнения вида   - уравнения с разделяющимися переменными. Они сводятся к уравнениям с разделёнными переменными:  , также возможны решения вида  , если   и  , если  .

Уравнения вида (1), где функции M и N такие, что:  ,   называются однородными. n - степень однородности.

Линейные уравнения

править

Линейными диф. уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида  , где   и   - непрерывные функции заданные на промежутке.

Рассмотрим однородное уравнение:  .

Решение:  , с - произвольная константа. Решение неоднородного уравнения получается методом вариации постоянной:  

Уравнения Бернулли и Риккати

править

 , Разделим уравнение на  :

 .

 . Обозначим:  .

 .

 .

  - также является решением.

  - уравнение Риккати.

Пусть   - частное решение,  . Тогда  

  Выделенные слагаемые равны нулю так как   - решение

  - уравнение Бернулли при  .