- общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку ДУ первого порядка - частный случай уравнения n-ого порядка, определения общего решения, интеграла ДУ см. в разделе определений следующей главы
Определение.Функция , заданная на называется решение ДУ , если она обладает следующими свойствами:
Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.
Уравнения в полных дифференциалах. Линейные уравнения.
Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и/или претендующих на достоверность сведений, изложенных в следующем тексте.
см. определение
Определение.Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая (или просто дифференцируемая??[источник?]) в области функция такая, что , . Тогда общий интеграл такого уравнения имеет вид: .
Теорема.Пусть функции заданные в окрестности точки и непрерывны. Тогда уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах в .
Доказательство.Необходимость: Пусть (1) - уравнение в полных дифференциалах дифференцируемая функция .
. Смешанные производные совпадают
Достаточность.
Предположим, что . .
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
Уравнения вида называется уравнением с разделёнными переменными. Это частный случай уравнения в полных дифференциалах:
,
Уравнения вида - уравнения с разделяющимися переменными. Они сводятся к уравнениям с разделёнными переменными: , также возможны решения вида , если и , если .
Уравнения вида (1), где функции M и N такие, что: , называются однородными. n - степень однородности.