Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Канонические преобразования

Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функция тождественного преобразования.

Гладкое отображение фазового пространства ${\textstyle f:{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$ называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет каноническую 2-форму ${\textstyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$:

${\textstyle f^{*}\omega =\omega }$,

где ${\textstyle f^{*}}$ — оператор переноса форм для отображения ${\textstyle f}$.

Теорема. Для любой гамильтоновой системы сдвиги вдоль траекторий ${\textstyle g_{t_{0}}^{t_{1}}:{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$ фазового пространства состоят из канонических преобразований.

Напомним, что для автономной системы семейство отображений ${\textstyle g^{t}=g_{0}^{t}}$ называется фазовым потоком.

Наиболее важное для нас свойство канонических преобразований дает следующая

Теорема. Каноническое преобразование ${\textstyle f}$ переводит решения автономной гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\textstyle H}$ в решения гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\textstyle {\mathcal {H}}=H\circ f^{-1}}$.

Можно рассматривать каноническое преобразование как замену координат ${\textstyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )={\boldsymbol {f}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ от переменных ${\textstyle \mathbf {q} ,\mathbf {p} }$ переменным ${\textstyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$. Замена называется канонической, если ${\textstyle d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} =d\mathbf {P} \wedge d\mathbf {Q} }$. Тогда функция ${\textstyle {\mathcal {H}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}$ получается из ${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$, если выразить ее через переменные ${\textstyle Q,P}$. Таким образом, при канонической замене решения уравнений Гамильтона с гамильтонианом ${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ переходят в решения уравнений Гамильтона с гамильтонианом ${\textstyle {\mathcal {H}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}$.

Из определения канонической замены и леммы Пуанкаре вытекает, что локально замена является канонической, если существует гладкая функция ${\textstyle S}$ такая, что

${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} =\mathbf {P} d\mathbf {Q} +dS}$

Если допустить зависимость замены фазовых переменных от времени, то определение каноничности следует обобщить. Рассмотрим две неавтономные гамильтоновы системы с функциями Гамильтона ${\textstyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ и ${\textstyle {\mathcal {H}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T)}$ и соответствующими каноническими 1-формами ${\textstyle \lambda _{H}=\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt,\quad \lambda _{\mathcal {H}}=\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\mathcal {H}}dT}$. В общем случае временные параметры ${\textstyle t}$ и ${\textstyle T}$ также различны. Гладкое отображение ${\textstyle \varphi }$ расширенного фазового пространства одной системы в расширенное фазовое пространство другой системы называется каноническим преобразованием, если

${\textstyle \varphi ^{*}d\lambda _{\mathcal {H}}=d\lambda _{\boldsymbol {H}}}$

Каноническое преобразование ${\textstyle \varphi }$ задается формулами

${\textstyle \varphi (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T)}$,

где ${\textstyle \mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T}$ — функции от ${\textstyle q,p,t}$. Тогда

${\textstyle d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} -dH\wedge dt=d\mathbf {P} \wedge d\mathbf {Q} -d{\mathcal {H}}\wedge dT}$

Еще раз воспользовавшись леммой Пуанкаре, получаем, что локально определение канонического преобразования принимает вид

${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} -{\boldsymbol {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)dt=\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\mathcal {H}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T)dT+dS}$

Теорема. Каноническое преобразование переводит фазовые кривые гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\textstyle H}$ в фазовые кривые гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\textstyle {\mathcal {H}}}$.

Доказательство. Для любой кривой ${\textstyle \gamma }$ с концами ${\textstyle z_{0}=\left(\mathbf {q} _{0},\mathbf {p} _{0},t_{0}\right),\mathbf {z} _{1}=\left(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t_{1}\right)}$ в расширенном фазовом пространстве имеем

${\textstyle A_{\mathcal {K}}(\varphi (\mathbf {r} ))=A_{H}(\Upsilon )+S\left(\mathbf {z} _{1}\right)-S\left(\mathbf {z} _{0}\right)}$,

где

${\textstyle A_{H}(\gamma )=\int _{\mathbf {Y} }\lambda _{H},\quad A_{\mathcal {H}}(\gamma )=\int _{\mathbf {r} }\lambda _{\mathcal {H}}}$

— функционалы действия, отвечающие гамильтонианам ${\textstyle H}$ и ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Поэтому для вариаций с закрепленными концами ${\textstyle \delta A_{H}(\gamma )=0}$ эквивалентно ${\textstyle \delta A_{\mathcal {H}}({\tilde {\gamma }})=0}$, где ${\textstyle {\tilde {\gamma }}=\varphi (\gamma )}$. Теперь теорема вытекает из принципа Гамильтона в фазовом пространстве.

Можно рассматривать каноническое преобразование ${\textstyle \varphi }$ как замену переменных ${\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\rightarrow (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T)}$. Следующее предложение означает, что при канонической замене координат уравнения сохраняют гамильтонову форму.

Предложение. Пусть ${\textstyle q,p,t}$ и ${\textstyle Q,P,T}$ - системы координат на расширенном фазовом пространстве, а ${\textstyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t),{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,T)}$ — гладкие функции такие, что

${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} -{\boldsymbol {H}}dt=\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\mathcal {H}}dT+dS}$

рA<1-Н<И = Р<1С1-Н<1Т + A3. A3.16) И Болотин 321 Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\textstyle H}$ переходят в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\textstyle {\mathcal {H}}}$:

${\textstyle \mathbf {Q} ^{\prime }={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {P} }},\quad \mathbf {P} ^{\prime }=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {Q} }},\quad (\cdot )^{\prime }={\frac {d}{dT}}}$

Канонические преобразования, меняющие время, используются нечасто. Предположим, что замены времени не происходит: ${\textstyle T=t}$I и уравнение ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ можно разрешить относительно ${\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$. Согласно теореме о невной функции это условие выполняется локально, если

${\textstyle \operatorname {det} (\partial \mathbf {Q} /\partial \mathbf {p} )\neq 0}$

Тогда ${\textstyle (q,Q,t)}$ можно взять в качестве локальных координат на расширенном фазовом пространстве.

Преобразование, для которого выполнено условие ${\textstyle \operatorname {det} (\partial \mathbf {Q} /\partial \mathbf {p} )\neq 0}$, иногда называют свободным. Тогда ${\textstyle S}$ можно выразить через ${\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,{\boldsymbol {t}})}$. Получаем

${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} -{\boldsymbol {H}}dt=\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\mathcal {H}}dt+S_{\mathbf {q} }d\mathbf {q} +S_{\mathbf {Q} }d\mathbf {Q} +S_{t}dt}$

(Здесь для краткости используются обозначения ${\textstyle S_{\mathbf {q} }=\partial S/\partial \mathbf {q} ,S_{\mathbf {Q} }=\partial S/\partial \mathbf {Q} ,S_{t}=\partial S/\partial t}$)

Следовательно,

${\textstyle \mathbf {p} =S_{\mathbf {q} },\quad \mathbf {P} =-S_{\mathbf {Q} },\quad {\mathcal {H}}={\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {S}}_{t}}$

Первые два равенства можно использовать для того, чтобы представить замену переменных в обычном виде:

${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t),\quad \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$

или

${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t),\quad \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$

Например, чтобы выразить новые переменные через старые, следует разрешить уравнение ${\textstyle \mathbf {p} =S_{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ относительно ${\textstyle Q}$. Согласно теореме о неявной функции, при выполнении условия

${\textstyle \operatorname {det} \left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial q\partial \mathbf {Q} }}\right)\neq 0}$

это возможно (по крайней мере, локально). Теперь, чтобы выразить ${\textstyle P}$ через ${\textstyle q,p,t}$, достаточно подставить полученную функцию ${\textstyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ в уравнение ${\textstyle \mathbf {P} =-{\boldsymbol {S}}_{\mathbf {Q} }(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,{\boldsymbol {t}})}$. Функция ${\textstyle S(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ называется производящей функцией канонической замены ${\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\mapsto (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$.

Часто требуется искать замену переменных, близкую к тождественной. В этом случае производящая функция ${\textstyle S(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ неудобна, но можно использовать другой тип производящей функции.

${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt=-d\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} -{\mathcal {H}}dt+d(\mathbf {P} \mathbf {Q} +S)}$

Предположим, что функция ${\textstyle W=\langle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \rangle +{\boldsymbol {S}}}$ может быть выражена через ${\textstyle q,P,t}$. Тогда ${\textstyle W(q,P,t)}$ задает замену переменных по формулам

${\textstyle \mathbf {p} =W_{\mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} =W_{\mathbf {P} },\quad {\mathcal {H}}=H+W_{t}}$

Для того чтобы можно было локально выразить ${\textstyle q}$ и ${\textstyle p}$ через ${\textstyle \mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,{\boldsymbol {t}}}$, а также ${\textstyle Q}$ и ${\textstyle P}$ — через ${\textstyle \mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {t}}}$, достаточно потребовать от ${\textstyle W}$, чтобы ${\textstyle \operatorname {det} \left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial p\partial Q}}\right)\neq 0}$

Задача. Найдите производящую функцию ${\textstyle W(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ тождественной замены переменных ${\textstyle Q=q,P=p}$.