Участник:Isbur/Теоретическая механика III

Курс читал Евгений Иванович Кугушев осенью 2018 года на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова, III курс, отделение механики.

Программа курса

Устойчивость положении равновесия. Малые колебания.

• Устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений по Ляпунову. Функция Ляпунова, Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка). Теорема Красовского о неустойчивости (формулировка).
• Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Теорема Лагранжа-Дирихле.
• Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Нормальные координаты. Уравнения малых колебаний.
• Экстремальные свойства собственных значений. Поведение собственных чисел при наложении связи. Поведение собственных чисел при изменении жесткостных или инерционных характеристик.
• Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея. Теоремы Кельвина-Четаева о асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия при наложении диссипативных и гироскопических сил.
• Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.
• Степень неустойчивости. Теорема о невозможности гироскопической стабилизации, если степень неустойчивости нечетна.

Инвариантная мера

• Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Существование инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.
• Теорема Пуанкаре о возвращении.
• Интегрируемость в квадратурах. Теорема Якоби о последнем множителе.
• Твердое тело с неподвижной точкой. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах.

Гамильтонова механика

• Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Канонические переменные. Уравнения Гамильтона для натуральных механических систем.
• Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Инвариантная мера уравнений Лагранжа.
• Преобразование Лежандра и его свойства.
• Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве.
• Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям.
• Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функция тождественного преобразования.
• Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.
• Уравнение Гамильтона-Якоби. Его полный интеграл. Разрешимость канонических уравнений Гамильтона в квадратурах. Метод разделения переменных при отыскании полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
• Маятник с вертикально вибрирующей точкой подвеса.
• Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Теорема Пуассона о первых интегралах.
• Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.

Дополнительно

Карточки