Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Теорема Якоби о последнем множителе

Говорят, что система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируема в квадратурах, если общее решение системы может быть получено с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирования (взятия частных производных) и нахождения первообразных (интегрирования по одной переменной).

Теорема. Если система ${\textstyle m}$-го порядка имеет ${\textstyle m-1}$ независимых первых интегралов ${\textstyle F_{1},\dots ,F_{m-1}}$, то она интегрируема в квадратурах.

Доказательство. Любое решение ${\textstyle x(t)}$ системы ${\textstyle x=y(x)}$ лежит на некотором совместном уровне интегралов ${\textstyle M=\left\{\mathbf {x} :F_{1}(\mathbf {x} )=c_{1},\dots ,F_{m-1}(\mathbf {x} )=c_{m-1}\right\}}$, где ${\textstyle c_{k}=F_{k}\left(\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right)}$. В силу независимости первых интегралов ${\textstyle M}$ — это гладкая кривая (или некоторый набор гладких кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения. Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой ${\textstyle x_{r}}$, для которой ${\textstyle (m-1)\times (m-1)}$-матрица ${\textstyle \left(\partial F_{k}/\partial x_{j}\right),j\neq r}$, невырождена. Разрешая систему уравнений ${\textstyle F_{1}(\mathbf {x} )=c_{1},\dots ,F_{m-1}(\mathbf {x} )=c_{m-1}}$, выразим остальные координаты через ${\textstyle x_{r}:x_{i}=x_{i}\left(x_{r}\right)}$. После этого зависимость ${\textstyle x_{r}(t)}$ находится из уравнения ${\textstyle {\dot {x}}_{r}=v_{r}\left(x\left(x_{r}\right)\right)}$, в котором переменные ${\textstyle x_{r}}$ и ${\textstyle t}$ разделяются. Затем определяются ${\textstyle x_{i}(t)=x_{i}\left(x_{r}(t)\right),i\neq r}$.

Теорема. (теорема Якоби о последнем множителе). Пусть в окрестности неособой точки ${\textstyle x_{0}}$ система ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {v} (\mathbf {x} )}$ имеет инвариантную меру с гладкой плотностью ${\textstyle \rho (x)>0}$. Тогда для интегрируемости в квадратурах достаточно иметь ${\textstyle n-2}$ независимых первых интеграла.

Доказательство. Пусть ${\textstyle n=2}$. Рассмотрим дифференциальную форму ${\textstyle \omega =-\rho v_{2}dx_{1}+\rho v_{1}dx_{2}}$. Она замкнута, поскольку ${\textstyle d\omega =\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\rho v_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\rho v_{2}\right)\right]dx_{1}\wedge dx_{2}=\operatorname {div} (\rho \mathbf {v} )dx_{1}\wedge dx_{2}=0}$. Согласно лемме Пуанкаре, локально ${\textstyle \omega }$ является дифференциалом некоторой функции ${\textstyle F(x_{1},x_{2})}$:

${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}=-\rho v_{2},\quad {\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}=\rho v_{1}}$

Отсюда вытекает, что ${\textstyle {\dot {F}}=0}$. Поэтому функция ${\textstyle F}$ — первый интеграл. Поскольку ${\textstyle p\left(x_{0}\right)>0}$ и ${\textstyle \mathbf {v} \left(\mathbf {x} _{0}\right)\neq 0}$, то ${\textstyle d\left.F\right|_{\mathbf {x} _{0}}\neq 0}$. Значит, система интегрируема в квадратурах.

Случай ${\textstyle n>2}$ сводится к предыдущему. Действительно, ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный, и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.