Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.
править
Ограничимся такими каноническими заменами, в которых время не меняется:
t
=
T
{\textstyle t=T}
. Будем искать каноническое преобразование
(
q
,
p
,
t
)
↦
(
α
,
β
,
t
)
{\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {t}})\mapsto ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}
такое, что в новых переменных гамильтониан тривиален:
H
(
α
,
β
,
t
)
≡
0
{\textstyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},t)\equiv 0}
, так что уравнения Гамильтона имеют вид
α
˙
=
0
,
β
˙
=
0
{\textstyle {\dot {\alpha }}=0,{\dot {\beta }}=0}
. Если выразить старые переменные через новые:
q
=
p
(
α
,
β
,
t
)
,
p
=
p
(
α
,
β
,
t
)
{\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {p} (\mathbf {\alpha } ,{\boldsymbol {\beta }},t),\mathbf {p} =\mathbf {p} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}
, то получится общее решение гамильтоновой системы, зависящее от
2
n
{\textstyle 2n}
произвольных постоянных
α
,
β
{\textstyle \alpha ,\beta }
. Ищем замену в классе преобразований с производящей функцией
S
=
S
(
q
,
Q
,
t
)
{\textstyle S=S(q,Q,t)}
, где
Q
=
α
{\textstyle Q=\alpha }
,
P
=
β
{\textstyle P=\beta }
. Получаем уравнение Гамильтона — Якоби
H
(
q
,
∂
S
∂
q
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\textstyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
Как обычно, производящая функция должна удовлетворять условию невырожденности
det
(
∂
2
S
∂
q
∂
α
)
≠
0
{\textstyle \operatorname {det} \left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial q\partial \alpha }}\right)\neq 0}
Семейство решений
S
(
q
,
α
,
t
)
{\textstyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}
уравнения Гамильтона—Якоби, зависящее от параметра
α
∈
R
n
{\textstyle \alpha \in \mathbb {R} ^{n}}
таким образом, что выполнено условие невырожденности, называется полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби. Таким образом, доказана следующая
Теорема. (метод Гамильтона—Якоби). Если известен полный интеграл
S
(
q
,
α
,
t
)
{\textstyle S(q,\alpha ,t)}
уравнения Гамильтона — Якоби, то общее решение
p
=
p
(
α
,
β
,
t
)
,
q
=
q
(
α
,
β
,
t
)
{\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {p} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},t),\mathbf {q} =\mathbf {q} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}
уравнений Гамильтона находится из уравнений
p
=
∂
S
(
q
˙
,
α
,
t
)
∂
q
,
β
=
∂
S
(
q
,
α
,
t
)
∂
α
{\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S({\dot {\mathbf {q} }},{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}{\partial \mathbf {q} }},\quad {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}}
Если гамильтониан не зависит от времени:
H
=
H
(
q
,
p
)
{\textstyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}
, то полный интеграл можно искать в виде
S
(
q
,
α
,
t
)
=
−
h
(
α
)
t
+
W
(
q
,
α
)
{\textstyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=-h({\boldsymbol {\alpha }})t+W(q,\alpha )}
. Для функции
W
{\textstyle W}
получается автономное уравнение Гамильтона — Якоби
H
(
q
,
∂
W
∂
q
)
=
h
{\textstyle H\left(q,{\frac {\partial W}{\partial q}}\right)=h}
Разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби.
править
Если уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид
Φ
(
f
(
∂
W
∂
q
1
,
q
1
)
,
∂
W
∂
q
2
,
…
,
∂
W
∂
q
n
,
q
2
,
…
,
q
n
,
α
)
=
0
{\textstyle \Phi \left(f\left({\frac {\partial W}{\partial q_{1}}},q_{1}\right),{\frac {\partial W}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial W}{\partial q_{n}}},q_{2},\ldots ,q_{n},\alpha \right)=0}
,
то говорят, что переменная
q
1
{\textstyle q_{1}}
отделяется . Тогда полный интеграл можно искать в виде
W
(
q
,
α
)
=
W
1
(
q
1
,
α
)
+
W
2
(
q
2
,
…
,
q
n
,
α
)
{\textstyle W(q,\alpha )=W_{1}\left(q_{1},\alpha \right)+W_{2}\left(q_{2},\dots ,q_{n},\alpha \right)}
, где
W
1
{\textstyle W_{1}}
– решение уравнения
f
(
∂
W
1
∂
q
1
,
q
1
)
=
k
(
α
)
{\textstyle f\left({\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{1}}},q_{1}\right)=k(\alpha )}
. При этом
W
2
{\textstyle W_{2}}
удовлетворяет уравнению
Φ
(
k
(
α
)
,
∂
W
2
∂
q
2
,
…
,
∂
W
2
∂
q
n
,
q
2
,
…
,
q
n
,
α
)
=
0
{\textstyle \Phi \left(k(\mathbf {\alpha } ),{\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{n}}},q_{2},\ldots ,q_{n},\alpha \right)=0}
.
Например, циклическая координата всегда отделяется. Если
q
1
{\textstyle q_{1}}
— циклическая, то можно положить
W
1
=
α
1
q
1
{\textstyle W_{1}=\alpha _{1}q_{1}}
.