Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Уравнение Гамильтона-Якоби

Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.

править

Ограничимся такими каноническими заменами, в которых время не меняется:  . Будем искать каноническое преобразование   такое, что в новых переменных гамильтониан тривиален:  , так что уравнения Гамильтона имеют вид  . Если выразить старые переменные через новые:  , то получится общее решение гамильтоновой системы, зависящее от   произвольных постоянных  . Ищем замену в классе преобразований с производящей функцией  , где  ,  . Получаем уравнение Гамильтона — Якоби

 

Как обычно, производящая функция должна удовлетворять условию невырожденности

 

Семейство решений   уравнения Гамильтона—Якоби, зависящее от параметра   таким образом, что выполнено условие невырожденности, называется полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби. Таким образом, доказана следующая

Теорема. (метод Гамильтона—Якоби). Если известен полный интеграл   уравнения Гамильтона — Якоби, то общее решение   уравнений Гамильтона находится из уравнений

 

Если гамильтониан не зависит от времени:  , то полный интеграл можно искать в виде  . Для функции   получается автономное уравнение Гамильтона — Якоби

 

Разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби.

править

Если уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид

 ,

то говорят, что переменная   отделяется. Тогда полный интеграл можно искать в виде  , где   – решение уравнения  . При этом   удовлетворяет уравнению

 .

Например, циклическая координата всегда отделяется. Если   — циклическая, то можно положить  .