Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Характеристический полином при наличии гироскопических сил

Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения.

править

Пусть система консервативна, т. е. в ней отсутствуют диссипативные силы. Линеаризованные уравнения Лагранжа при наличии гироскопических сил имеют вид  , где С — кососимметрическая; В —- симметрическая; А — симметрическая положительно определенная матрицы.

Предложение 9.5 Характеристический многочлен   консервативной системы четен. Если   — его корень, то   также является его корнем.

Доказательство. Для любого комплексного   имеем:

 

Поскольку   — многочлен с вещественными коэффициентами, каждому его корню соответствует комплексно-сопряженный корень. Таким образом, ненулевые корни характеристического уравнения расположены на комплексной плоскости (рис. 9.6):

а) четверками   и  

б) парами  ;

в) парами  X = гЬ.

Здесь   и   — вещественные постоянные. Видим, что в случаях «а» и «б» обязательно найдется корень с положительной вещественной частью, что означает неустойчивость положения равновесия. Таким образом, устойчивость положения равновесия может иметь место только в случае чисто мнимых и нулевых корней характеристического уравнения.

Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.

править

Если среди чисел   есть отрицательные, то линеаризованные уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а положение равновесия неустойчиво.