Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Характеристический полином при наличии гироскопических сил
Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения.
правитьПусть система консервативна, т. е. в ней отсутствуют диссипативные силы. Линеаризованные уравнения Лагранжа при наличии гироскопических сил имеют вид , где С — кососимметрическая; В —- симметрическая; А — симметрическая положительно определенная матрицы.
Предложение 9.5 Характеристический многочлен консервативной системы четен. Если — его корень, то также является его корнем.
Доказательство. Для любого комплексного имеем:
Поскольку — многочлен с вещественными коэффициентами, каждому его корню соответствует комплексно-сопряженный корень. Таким образом, ненулевые корни характеристического уравнения расположены на комплексной плоскости (рис. 9.6):
а) четверками и
б) парами ;
в) парами X = гЬ.
Здесь и — вещественные постоянные. Видим, что в случаях «а» и «б» обязательно найдется корень с положительной вещественной частью, что означает неустойчивость положения равновесия. Таким образом, устойчивость положения равновесия может иметь место только в случае чисто мнимых и нулевых корней характеристического уравнения.
Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.
правитьЕсли среди чисел есть отрицательные, то линеаризованные уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а положение равновесия неустойчиво.