Участник:Isbur/Функциональный анализ I

Курс читал Владимир Игоревич Богачёв осенью 2018 года на мехмате МГУ им. М.В. Ломоносова, III курс, отделение механики.

Пререквизиты

• Топология на $\mathbb {R}$

Программа курса

1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства ${\textstyle l^{2}}$ и ${\textstyle C[a,b]}$.
2. Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.
3. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.

4,     Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях,

5,     Компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах последовательностей,

6,     Равносильность разных определений компакта в метрическом пространстве (три равносильных описания),

7,     Критерии компактности в C[а, Ъ\ (теорема Асколи-Арцела) и в /²,

8,     Алгебры и σ-адгебры множеств; σ-алгебра, порожденная классом множеств. Структура открытых множеств на прямой, Борелевекая σ-алгебра,

9,     Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности. Счетная аддитивность меры с приближающим компактным классом,

10,     Задача продолжения меры с алгебры. Внешняя мера. Измеримые множества, Счетная аддитивность внешней меры на σ-алгебре измеримых множеств (формулировка теоремы). Единственность продолжения,

11,     Построение меры Лебега на прямой и в Rⁿ, Основные свойства меры Лебега,

12,     Функции, измеримые относительно σ-алгебры и измеримые относительно меры. Свойства измеримых функций (операции над измеримыми функциями),

13,     Сходимость почти всюду. Теорема Егорова,

14,     Определение интеграла Лебега, Лемма о монотонной последовательности простых функций (формулировка). Монотонность и линейность интеграла Лебега,

15,     Неравенство Чебышёва, Абсолютная непрерывность интеграла Лебега,

16,     Теорема Лебега о мажорируемой сходимости,

17,     Теорема Лебега-Б, Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату,

18,     Критерий интегрируемости по Лебегу в терминах рядов. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным),

19,     Пространства L¹ и L² и их полнота,

20,     Произведение пространств с мерами (конструкция произведения и формулировка результата). Теорема Фубини и ее применение,

21,     Абсолютно непрерывные функции, их связь с неопределенными интегралами интегрируемых функций и формула Ньютона-Лейбница (формулировки). Вывод формулы интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций.

Дополнительно

Карточки