Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки
Аналогично с аналитической механикой, на этой странице ссылки даются на карточки.
Программа курса
править- [1] Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства и .
- [2] Полные пространства. Примеры. Существование пополнения.
- [3] Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.
- [4] Непрерывные отображения. Теорема о сжимающих отображениях.
- [5] Компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах последовательностей.
- [6] Равносильность разных определений компакта в метрическом пространстве (три равносильных описания) .
- [7] Критерии компактности в (теорема Асколи-Арцела) и в .
- [8] Алгебры и σ-алгебры множеств; σ-алгебра, порожденная классом множеств. Структура открытых множеств на прямой. Борелевская σ-алгебра.
- [9] Аддитивные и счётно-аддитивные меры. Критерий счетной аддитивности. Счетная аддитивность меры с приближающим компактным классом,
- [10] Задача продолжения меры с алгебры. Внешняя мера. Измеримые множества. Счетная аддитивность внешней меры на σ-алгебре измеримых множеств (формулировка теоремы). Единственность продолжения,
- [11] Построение меры Лебега на прямой и в . Основные свойства меры Лебега.
- [12] Функции, измеримые относительно σ-алгебры и измеримые относительно меры. Свойства измеримых функций (операции над измеримыми функциями).
- [13] Сходимость почти всюду. Теорема Егорова.
- [14] Определение интеграла Лебега. Лемма о монотонной последовательности простых функций (формулировка). Монотонность и линейность интеграла Лебега.
- [15] Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега,
- [16] Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
- [17] Теорема Лебега-Беппо Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату.
- [18] Критерий интегрируемости по Лебегу в терминах рядов. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным).
- [19] Пространства L1 и L2 и их полнота.
- [20] Произведение пространств с мерами (конструкция произведения и формулировка результата). Теорема Фубини и ее применение.
- [21] Абсолютно непрерывные функции, их связь с неопределенными интегралами интегрируемых функций и формула Ньютона-Лейбница (формулировки). Вывод формулы интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций.