Понятие вектора

Закрепленный вектор

Закрепленный вектор (направленный отрезок) — упорядоченная пара точек. Первая называется началом вектора, вторая концом.

Закрепленный вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначается ${\overrightarrow {AB}}$.

Вектор, у которого начало и конец совпадает, называется нулевым и обозначается ${\mathbf {0} }={\overrightarrow {AA}}$.

Длина вектора (модуль или абсолютная величина) — расстояние между его началом и концом, обозначается $|{\overrightarrow {AB}}|$.

Два закрепленных вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой. Нулевой вектор считается параллельным (а значит, и коллинеарным) любому вектору.

Три закрепленных вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Свободный вектор

Закрепленные векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Необходимо заметить, что равенство векторов отличается от привычного равенства чисел. Если число равно другому числу, то эти числа совпадают, на самом деле, это одно и то же число. Если закрепленный вектор равен другому вектору, они могут не совпадать. Иногда равенство векторов называют эквиполлентностью.

Основные свойства равенства векторов:

1. рефлексивность: ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AB}}$;
2. симметричность: если ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$, то ${\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {AB}}$;
3. транзитивность: если ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$ и ${\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {EF}}$, то ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EF}}$.

Отношение, обладающее данными свойствами, называется отношением эквивалентности.

Таким образом, существует множество несовпадающих закрепленных векторов, которые равны между собой. Во многих задачах безразлично какой из равных векторов рассматривать. В этих случаях говорят о свободном векторе. Под свободным вектором можно понимать любой из равных между собой векторов. Свободный вектор чаще всего обозначаются полужирными строчными латинскими буквами.

Смотри также

Задачи