Квантовая механика

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики — уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули.

                                                                                                                                                                     Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

История

На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями (квантами). Эти порции состоят из целого числа квантов с такой энергией ${\mathcal {E}}$ , что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:

{\mathcal {E}}=h\nu =\hbar \omega \,

где h — постоянная Планка, и $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ .

В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии «кванты» света получили название фотонов.

Для объяснения структуры атома Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.

Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.

В 1925—1926 годах были заложены основы последовательной квантовой теории в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированной 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики.

Развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор. Оно связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и пр. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории является квантовая теория поля.

В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании условия Вульфа — Брэгга для волн с длиной Де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условием Вульфа — Брэгга, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.

Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.

Математические основания квантовой механики

Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:

При помощи уравнения Шрёдингера;
При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
При помощи метода вторичного квантования;
При помощи интеграла по траекториям;
При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
При помощи квантовой логики.

Шрёдингеровское описание

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях^[1]:

Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами $|\psi \rangle$ комплексного сепарабельного гильбертова пространства $~H$ , причем векторы $|\psi _{1}\rangle$ и $|\psi _{2}\rangle$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $|\psi _{2}\rangle =c|\psi _{1}\rangle$ , где $~c$ — произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой ${\hat {A}}$ , при чистом состоянии системы $|\psi \rangle$ в среднем получается значение, равное

\langle A\rangle ={\frac {\langle \psi |{\hat {A}}\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}={\frac {\langle \psi {\hat {A}}|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}

где через $\langle \psi |\phi \rangle$ обозначается скалярное произведение векторов $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$ .

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера

~i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle

где $~{\hat {H}}$ — гамильтониан.

Основные следствия этих положений:

При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Пусть $\psi ({\vec {r}})$ амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет её определить.
Функция $\!\psi ({\vec {r}})$ удовлетворяет уравнению:

-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\nabla }^{\,2}\psi +U({\vec {r}})\psi =E\psi

где ${\nabla }^{\,2}$ —оператор Лапласа, а $U=U({\vec {r}})$ — потенциальная энергия частицы как функция от ${\vec {r}}$ .

Решение этого уравнения и есть основная задача квантовой механики. Примечательно то, что точное решение стационарного уравнения Шрёдингера может быть получено только для нескольких, сравнительно простых, систем. Среди таких систем можно выделить квантовый гармонический осциллятор и атом водорода. Для большинства реальных систем для получения решений могут быть использованы различные приближенные методы, такие как теория возмущений.

Решение стационарного уравнения

Пусть E и U две постоянные, независимые от ${\vec {r}}$ .
Записав стационарное уравнение как:

{\nabla }^{\,2}\psi ({\vec {r}})+{2m \over {\hbar }^{2}}(E-U)\psi ({\vec {r}})=0

Если E - U > 0, то:

Решение стационарного уравнения в случае, когда E-U>0

\psi ({\vec {r}})=Ae^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+Be^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}

где:

k={\frac {\sqrt {2m(E-U)}}{\hbar }}

— модуль волнового вектора; A и B — две постоянные, определяющиеся граничными условиями.

Если E - U < 0, то:

\psi ({\vec {r}})=Ce^{-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+De^{{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}

где:

k={\frac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}

— модуль волнового вектора; C и D — две постоянные, также определяющиеся граничными условиями.

Принцип неопределённости Гейзенберга

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.

Неопределенность между координатой и импульсом

Пусть $\Delta x\,$ — среднеквадратическое отклонение координаты частицы $M\,$ , движущейся вдоль оси $x\,$ , и $\Delta p\,$ — среднеквадратическое отклонение её импульса. Величины $\Delta x\,$ и $\Delta p\,$ связаны следующим неравенством:

\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}

где $h$ — постоянная Планка, а $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}.$

Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.

Неопределенность между энергией и временем

Пусть $\Delta E$ — среднеквадратическое отклонение при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и $\Delta t$ — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,

\Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.

Иными словами, состояние, живущее короткое время, не может иметь хорошо определённую энергию.

Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики

Соотношение неопределённостей Гейзенберга
Корпускулярно-волновой дуализм
- Дифракция электронов
Сверхтекучесть (Бозе-конденсат)
Сверхпроводимость
Квантовая телепортация
Квантовая запутанность (Квантовая нелокальность, «Квантовое Вуду»)
- Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена
Парадокс Клейна
Квантовый парадокс Зенона («Парадокс незакипающего чайника», связанный с аксиомой идеального измерения)
Кот Шрёдингера
Надбарьерное отражение
Теорема о запрете клонирования
Обменное взаимодействие

Разделы квантовой механики

В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы

математическая основа квантовой механики и теория представлений;
точные решения одномерного стационарного уравнения Шрёдингера для различных потенциалов;
приближённые методы (квазиклассическое приближение, теория возмущений и т. д.);
нестационарные явления;
уравнение Шрёдингера в трёхмерном случае и теория углового момента;
теория спина;
тождественность частиц;
строение атомов и молекул;
рассеивание частиц;

Интерпретации квантовой механики

Шаблон:Нет источников в разделе Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом.

С точки зрения философии позитивизма, разногласия в интерпретациях не влияют на предсказания исходов конкретных экспериментов в рамках квантовой теории, и потому интерпретации являются нефальсифицируемыми, а следовательно, и ненаучными концепциями. Практическая ценность различных интерпретаций усматривается их сторонниками в некотором упрощении хода рассуждений при рассмотрении различных экспериментов, или обосновывается философскими соображениями.

Есть и другая точка зрения по данному вопросу.

В наше время физик вынужден заниматься философскими проблемами в гораздо большей степени, чем это приходилось делать физикам предыдущих поколений. К этому физиков вынуждают трудности их собственной науки.^[2]

При изучении этих вещей в их совокупности физик на каждом шагу встречается с логическими и гносеологическими трудностями; и хотя физика имеет дело лишь с ограниченным кругом знания и исключает такие явления, как жизнь и сознание, все же решение этих логических и гносеологических проблем является глубокой потребностью нашего стремления к познанию.^[3]

Для выбора между конкурирующими научными теориями одного лишь опыта не достаточно. Кроме опыта, важными компонентами научного творчества являются интуиция, психология и философские соображения. Эталон для построения научной теории называется парадигмой. Смысл научных революций заключается не в смене одной фундаментальной теории другой под влиянием новых фактов, а в смене научных парадигм.^[4]

Интерпретации квантовой механики

Шаблон:Квантовая теория

Обычно квантовая механика формулируется для нерелятивистских систем. Рассмотрение частиц с релятивистскими энергиями в рамках стандартного квантовомеханического подхода, предполагающего фиксированное число частиц в системе, сталкивается с трудностями, поскольку при достаточно большой энергии частицы могут превращаться друг в друга. Эти трудности устраняются в квантовой теории поля, которая и является самосогласованной теорией релятивистских квантовых систем.
Важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших величин действия (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики (см. Теорема Эренфеста). Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах.
Некоторые свойства квантовых систем кажутся непривычными (невозможность одновременно измерить координату и импульс, несуществование определённой траектории частицы, вероятностное описание, дискретность средних значений наблюдаемых величин). Это вовсе не значит, что они неверны: это означает, что наша повседневная интуиция никогда не сталкивалась с таким поведением, т. е. в данном случае «здравый смысл» не может быть критерием, поскольку он годится только для макроскопических систем. Квантовая механика — самосогласованная математическая теория, предсказания которой согласуются с экспериментами. В настоящее время огромное число приборов, используемых в повседневной жизни, основываются на законах квантовой механики, как например — лазер или сканирующий туннельный микроскоп.
Классическая механика оказалась неспособной объяснить движение электронов вокруг атомного ядра. Например, согласно классической электродинамике, электрон, вращающийся с большой скоростью вокруг атомного ядра, должен излучать энергию. Тогда его кинетическая энергия должна уменьшаться и он должен упасть на ядро. Для понимания процессов, происходящих на уровне элементарных частиц, потребовалась новая теория. Квантовая теория — это совершенно новый взгляд на систему, позволяющий с огромной точностью описать необычное поведение электронов и фотонов.^[5]

См. также

Примечания

↑ Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шрёдингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
↑ Эйнштейн А. Замечания о теории познания Бертрана Рассела // Собрание научных трудов, т. IV. — М., 1967. — стр. 248
↑ Макс Борн Философские аспекты современной физики // Физика в жизни моего поколения — М., ИЛ, 1963. — стр. 78
↑ Томас Кун Структура научных революций — М., АСТ, 2003. — с. 605 — ISBN 5-17-010707-2
↑ Фейнман Р. КЭД-странная теория света и вещества — М: Наука, 1988. (Библиотечка «Квант»)

Литература

Физический энциклопедический словарь. Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
Давыдов А. С. Квантовая механика. 3-е изд., стер. — СПб.: 2011 — 704 с.
Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. — 384 с.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика
Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. М.: Мир, 1989. — 488 с.
Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Ленинград, Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 c.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Том 9., М., 1966—1967.
К. Коэн-Таннуджи, Б. Диу, Ф. Лалоэ. Квантовая механика. Т.1. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 944 с.
К. Коэн-Таннуджи, Б. Диу, Ф. Лалоэ. Квантовая механика. Т.2. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 800 с.

Ссылки

Лорен Грэхэм «Естествознание, философия и науки о человеческом поведении в Советском Союзе, Глава X. Квантовая механика»
Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике, — Шаблон:М.: Наука, 1976.
Нейман И. Математические основы квантовой механики, — Шаблон:М: Наука, 1964.
Паули В. Общие принципы волновой механики, — Шаблон:М — Шаблон:Л: ГИТТЛ, 1947.
Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики (2-е издание), — Шаблон:М: Наука, 1979.
Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики, — Шаблон:М: Наука, 1990.
Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели квантовой механики. М.: Мир, 1991. - 568с.
Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики. М.: Наука, 1966.
«Квантовая механика» — статья в Физической энциклопедии.

Разделы механики

[1] Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шрёдингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

[2] Эйнштейн А. Замечания о теории познания Бертрана Рассела // Собрание научных трудов, т. IV. — М., 1967. — стр. 248

[3] Макс Борн Философские аспекты современной физики // Физика в жизни моего поколения — М., ИЛ, 1963. — стр. 78

[4] Томас Кун Структура научных революций — М., АСТ, 2003. — с. 605 — ISBN 5-17-010707-2

[5] Фейнман Р. КЭД-странная теория света и вещества — М: Наука, 1988. (Библиотечка «Квант»)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]