Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$. Приложим вектор $\mathbf {a}$ к некоторой точке $O$, получим $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$. Приложим вектор $\mathbf {b}$ к точке $A$, получим $\mathbf {b} ={\overrightarrow {AB}}$. Тогда вектор $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OB}}$ будем называть суммой векторов: $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$.

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки $O$.

Приложим вектор $\mathbf {a}$ к другой точке $O'$, получим $\mathbf {a} ={\overrightarrow {O'A'}}$. Приложим вектор $\mathbf {b}$ к точке $A'$, получим $\mathbf {b} ={\overrightarrow {A'B'}}$.

Рассмотрим направленные отрезки ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {O'B'}}$. Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку $OBB'O'$ — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора $\mathbf {a}$ на число $k$ называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору $\mathbf {a}$;
2. сонаправлен ему, если $k>0$, или противоположнонаправлен, если $k<0$;
3. длины связаны следующим соотношением: $|k\mathbf {a} |=|k|\cdot |\mathbf {a} |$.

Данное определение согласовано с определением сложения:

$n\mathbf {a} =\underbrace {\mathbf {a} +\ldots +\mathbf {a} } _{n\;times}$

для любого натурального $n$.

Свойства линейных операций

Коммутативность сложения векторов

Ассоциативность сложения векторов

Сложение векторов коммутативно: $\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a}$.

Сложение векторов ассоциативно: $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )$.

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: $\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a}$. Очевидно, ${\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AA}}={\overrightarrow {OA}}$.

Для любого вектора $\mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}$ существует вектор $-\mathbf {a} ={\overrightarrow {BA}}$ такой, что $\mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0}$ или ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {AA}}=\mathbf {0}$.

Умножение вектора на число ассоциативно: $(\alpha \beta )\mathbf {a} =\alpha (\beta \mathbf {a} )$. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: $(\alpha +\beta )\mathbf {a} =\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {a}$.

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков $\alpha$ и $\beta$, в каждом случае утверждение очевидно.

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: $\alpha (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\alpha \mathbf {a} +\alpha \mathbf {b}$. Это следует из подобия треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$ на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: $1\mathbf {a} =\mathbf {a}$.

Примечание

В алгебре изучаются так называемые алгебраические структуры. Это множества математических объектов, для которых определены некоторые операции, удовлетворяющие некоторым системам аксиом.

Пример такой структуры, изучаемой в линейной алгебре, — так называемое векторное (линейное) пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на элементы некоторого поля (например, поля вещественных чисел), причем эти операции удовлетворяют указанным выше свойствам.

В линейной алгебре изучаются общие свойства таких множеств, их элементы (их называют абстрактными векторами) не обязаны быть геометрическими векторами (хотя чаще всего именно их приводят в качестве наглядного примера).

В аналитической геометрии векторы нужны, в первую очередь для введения системы координат (см. ниже). Благодаря этому удается описать геометрические фигуры при помощи аналитических формул.

Линейные комбинации

Линейная комбинация векторов $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$ с коэффициентами $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ — вектор $\alpha _{1}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {a} _{n}$. Если все коэффициенты равны нулю, линейную комбинацию называют тривиальной, иначе — нетривиальной.

Векторы $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, равная нулю.

Теорема Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных. Доказательство   Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Это значит, что существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю: $\alpha _{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {a} _{n}=0$. Один из коэффициентов, например $\alpha _{i}$ не равен нулю. Тогда $\mathbf {a} _{i}=\left(-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{i}}}\right)\mathbf {a} _{1}+\ldots +\left(-{\frac {\alpha _{i-1}}{\alpha _{i}}}\right)\mathbf {a} _{i-1}+\left(-{\frac {\alpha _{i+1}}{\alpha _{i}}}\right)\mathbf {a} _{i+1}+\ldots +\left(-{\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{i}}}\right)\mathbf {a} _{n}$ Достаточность. Пусть $\mathbf {a} _{i}=\beta _{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +\beta _{i-1}\mathbf {a} _{i-1}+\beta _{i+1}\mathbf {a} _{i+1}+\ldots +\beta _{n}\mathbf {a} _{n}$. Тогда $\beta _{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +\beta _{i-1}\mathbf {a} _{i-1}+(-1)\mathbf {a} _{i}+\beta _{i+1}\mathbf {a} _{i+1}+\ldots +\beta _{n}\mathbf {a} _{n}=0$ Это нетривиальная (коэффициент $\beta _{i}=-1\neq 0$) линейная комбинация, равная нулю. Значит система векторов линейно зависима.

Геометрический смысл линейной зависимости заключается в следующем:

1. система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;
2. система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;
3. всякие четыре вектора линейно зависимы.

Смотри также

Задачи