Линейные операции над векторами/Задачи

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Примеры решения задач

править

Пример 1

править

Векторы   и   являются диагоналями параллелограмма  . Выразить векторы  ,  ,   и   через векторы   и  .

По определению сложения

 
 

По свойствам параллелограмма

 
 

Тогда

 
 

Откуда

 
 

По свойствам параллелограмма

 
 

Пример 2

править

В треугольнике   проведены медианы  ,   и  . Представить векторы  ,   и   в виде линейных комбинаций векторов   и  .

Найдём вектор  .

  откуда  
 
 
 

Пример 3

править

Дан тетраэдр  . Выразить вектор   через стороны  ,   и  . Точка   -- середина ребра  ,   -- середина ребра  .

Найдём вектор  .

  откуда  

Очевидно,

 

Задачи для самостоятельного решения

править

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

  1. Точки   и   -- середины сторон   и   параллелограмма  . Выразить векторы   и   через векторы  ,  .
  2. В трапеции   отношение  . Обозначив   и  , выразить векторы  ,  ,   и   через   и  .
  3. В трапеции   отношение  . Обозначив   и  , выразить векторы  ,  ,  ,  ,   и   через   и  .
  4. В треугольнике   проведены медианы  ,   и  . Найти сумму векторов  ,   и  .
  5. В плоскости треугольника   найти такую точку  , что  .
  6. Дан тетраэдр  . Выразить вектор   через стороны  ,   и  . Точка   -- середина ребра  ,   -- точка пересечения медиан треугольника  .