Пусть
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
O
{\displaystyle O}
угол между этими векторами (точнее между несущими их полупрямыми, исходящими из точки
O
{\displaystyle O}
a
,
b
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }}}
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a
⋅
b
=
(
a
,
b
)
=
|
a
|
|
b
|
cos
(
a
,
b
^
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})}
Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.
Свойства скалярного произведения:
Коммутативность:
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }
Линейность по первому аргументу:
(
a
1
+
a
2
)
⋅
b
=
a
1
⋅
b
+
a
2
⋅
b
{\displaystyle (\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2})\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} }
(
α
a
)
⋅
b
=
α
(
a
⋅
b
)
{\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}
Положительная определенность:
a
⋅
a
=
|
a
|
2
≥
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}\geq 0}
a
⋅
a
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0}
a
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }
править
Алгебраическое значение проекции вектора
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
|
p
r
b
a
|
=
|
a
|
cos
(
a
,
b
^
)
{\displaystyle |\mathrm {pr} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})}
Аналогично
|
p
r
a
b
|
=
|
b
|
cos
(
a
,
b
^
)
{\displaystyle |\mathrm {pr} _{\mathbf {a} }\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})}
Таким образом, скалярное произведение
a
⋅
b
=
|
a
|
|
p
r
a
b
|
=
|
b
|
|
p
r
b
a
|
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathrm {pr} _{\mathbf {a} }\mathbf {b} |=|\mathbf {b} ||\mathrm {pr} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} |}
Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.
a
⋅
a
=
|
a
|
|
a
|
cos
(
a
,
a
^
)
=
|
a
|
2
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {a} }})=|\mathbf {a} |^{2}}
Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
(
a
,
b
^
)
=
cos
(
a
,
b
^
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})=\cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})}
править
Пусть заданы координаты двух векторов
a
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}
{\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}}
b
=
{
b
1
,
b
2
,
b
3
}
{\displaystyle \mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}}
a
⋅
b
=
(
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
)
⋅
(
b
1
e
1
+
b
2
e
2
+
b
3
e
3
)
=
=
a
1
b
1
e
1
⋅
e
1
+
a
2
b
2
e
2
⋅
e
2
+
a
3
b
3
e
3
⋅
e
3
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
e
1
⋅
e
2
+
(
a
1
b
3
+
a
3
b
1
)
e
1
⋅
e
3
+
(
a
2
b
3
+
a
3
b
2
)
e
2
⋅
e
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})\cdot (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3})=\\&=a_{1}b_{1}\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}+a_{3}b_{3}\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}+(a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}
В ортонормированной системе координат
e
1
⋅
e
1
=
e
2
⋅
e
2
=
e
3
⋅
e
3
=
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}=1}
e
1
⋅
e
2
=
e
1
⋅
e
3
=
e
2
⋅
e
3
=
0
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}=0}
cos
0
=
1
,
cos
π
2
=
0
{\displaystyle \cos 0=1,\;\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}
При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:
Коммутативность
Линейность по первому аргументу
Положительная определенность Тогда производными понятиями становятся
Длина вектора — число, вычисляемое по правилу
|
a
|
=
a
⋅
a
{\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}
Угол между ненулевыми векторами — число, косинус которого
cos
(
a
,
b
^
)
=
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle \cos({\widehat {\mathbf {a} ,\mathbf {b} }})={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}}
Ортогональные (перпендикулярные) векторы — векторы, скалярное произведение которых равно 0. 
