Скалярное произведение векторов/Задачи

Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Примеры решения задач

править

Вычисление скалярного произведения

править

В простейшем случае известны координаты векторов в ортонормированной системе координат. Тогда скалярное произведение вычисляется как сумма произведения одноименных координат.

Смотри также Скалярное произведение векторов

Пример 1

править

В равностороннем треугольнике   длины сторон равны 1. Вычислить  .

 

Пример 2

править

Даны два неколлинеарных вектора   и  . Найти вектор   компланарный векторам   и   и удовлетворяющий системе уравнений

 

Поскольку векторы   и   неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости. Любой компланарный им вектор можно представить в виде

 

Поэтому исходную систему можно переписать в виде

 

Решение этой системы

 

Таким образом искомый вектор

 

Геометрический смысл скалярного произведения

править

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой  . Если вектор задан своими координатами   в ортонормированной системе координат, то  .

Таким образом

 

Смотри также Длина вектора

Во многих случаях необходимо получить единичный вектор  , имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор  . Эта задача называется нормализацией вектора. Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то  .

 
 
Откуда  

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой

 

Если векторы заданы своими координатами   и   в ортонормированной системе координат,

 

Смотри также Найти угол между векторами

Пример 3

править

Дан параллелограмм  . Длины его сторон  , угол  . Вычислить длину   диагонали   параллелограмма и найти косинусы углов между диагональю и сторонами параллелограмма.

Очевидно  . Поэтому длина диагонали

 

Углы между диагональю и сторонами

 

 

Задачи для самостоятельного решения

править
  1. В треугольнике   проведены медианы  . Вычислить  .
  2. Даны три некомпланарных вектора  ,   и  . Найти вектор  , удовлетворяющий системе уравнений
     
  3. Вычислить длину   диагонали   параллелепипеда и найти косинусы углов, образуемых диагональю   с рёбрами  , если известны длины его рёбер  ,  ,   и углы  ,  ,  .