Функция f {\displaystyle f} абсолютно непрерывна на [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , если для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существует δ {\displaystyle \delta } такое, что для любого конечного набора попарно непересекающихся открытых интервалов в [ a , b ] , { ( a k , b k ) } k = 1 n {\displaystyle [a,b],\left\{\left(a_{k},b_{k}\right)\right\}_{k=1}^{n}} , для которых
∑ k = 1 n ( b k − a k ) < δ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)<\delta }
имеем, что
∑ k = 1 n | f ( b k ) − f ( a k ) | < ε {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|f\left(b_{k}\right)-f\left(a_{k}\right)\right|<\varepsilon }
Мотивация введения понятия абсолютно непрерывных функций
абсолютно непрерывна на ![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
, если для любого 
существует 
такое, что для любого конечного набора попарно непересекающихся открытых интервалов в ![{\displaystyle [a,b],\left\{\left(a_{k},b_{k}\right)\right\}_{k=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94133dd63c661d1de31afccdbf5c45579a5bca7e)
, для которых
