Пусть { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} - последовательность неотрицательных интегрируемых функций, тогда
∫ E lim _ n → ∞ f n ( x ) d x ≤ lim _ n → ∞ ∫ E f n ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}{\underline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)dx\leq {\underline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}(x)dx}
Если f n {\displaystyle f_{n}} сходится к f {\displaystyle f} почти всюду на E {\displaystyle E} и если ∫ E f n ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f_{n}(x)dx} ограничены константой, не зависящей от n {\displaystyle n} , тогда f {\displaystyle f} интегрируема и
∫ E f ( x ) d x ≤ lim _ n → ∞ ∫ E f n ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)dx\leq {\underline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}(x)dx}
