Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Непрерывные отображения

Определение. Отображение ${\textstyle f}$ из метрического пространства ${\textstyle (X,d_{X})}$ в метрическое пространство ${\textstyle (Y,d_{Y})}$ называется непрерывным в точке ${\textstyle x\in X}$, если для всякой последовательности ${\textstyle \{x_{n}\}}$, сходящейся к ${\textstyle x}$, последовательность ${\textstyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к точке ${\textstyle f(x)}$.

Отображение ${\textstyle f}$ называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.

Определение. Непрерывность в точке ${\textstyle x}$ можно сформулировать в так называемых (${\textstyle \varepsilon }$,${\textstyle \delta }$)-терминах: ${\textstyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x\;|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$

Предложение. Определения эквивалентны.

Предложение. Непрерывность отображения ${\textstyle f}$ равносильна тому, что для всякого открытого множества ${\textstyle V\subset Y}$ множество ${\textstyle f^{-1}(V)}$ открыто в ${\textstyle X}$. Это эквивалентно тому, что для всякого замкнутого множества ${\textstyle Z\subset Y}$ множество ${\textstyle f^{-1}(Z)}$ замкнуто в ${\textstyle X}$.

Доказательство. 1) Пусть ${\textstyle f}$ непрерывно и ${\textstyle V}$ открыто в ${\textstyle Y}$. Положим ${\textstyle U:=f^{-1}(V)}$. Пусть ${\textstyle x\in U}$. Для ${\textstyle y=f(x)}$ найдется открытый шар ${\textstyle V_{0}\subset V}$ положительного радиуса с центром в ${\textstyle y}$, а для этого шара найдется такой открытый шар ${\textstyle U_{0}}$ положительного радиуса с центром в ${\textstyle x}$, что ${\textstyle f(U_{0})\subset V_{0}\subset V}$. Это означает открытость ${\textstyle U}$.

2) Предположим теперь, что прообразы открытых множеств открыты. Покажем, что ${\textstyle f}$ непрерывно в каждой точке ${\textstyle x\in X}$. Если это не так, то найдется сходящаяся к ${\textstyle x}$ последовательность точек ${\textstyle x_{n}}$, для которой точки ${\textstyle f(x_{n})}$ не сходятся к ${\textstyle f(x)}$. Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что точки ${\textstyle f(x_{n})}$ не попадают в некоторый открытый шар ${\textstyle V}$ с центром в ${\textstyle f(x)}$. Значит, ${\textstyle x_{n}\not \in f^{-1}(V)}$. Однако множество ${\textstyle f^{-1}(V)}$ открыто и содержит ${\textstyle x}$. Поэтому ${\textstyle \{x_{n}\}}$ не может сходиться к ${\textstyle x}$, вопреки нашему построению. Итак, ${\textstyle f}$ непрерывно в ${\textstyle x}$. Утверждение про замкнутые множества следует из описания замкнутых множеств как дополнений открытых и соотношения ${\textstyle f^{-1}(Y\backslash V)=X\backslash f^{-1}(V)}$