Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Существование пополнения/Доказательство

Пререквизиты:

Лемма. Пусть и — полные метрические пространства, и — всюду плотные множества, и — изометрия из на . Тогда продолжается единственным образом до изометрии и .

Теорема. Всякое метрическое пространство изометрично части пространства .

Определение. – множество ограниченных на функций.

Доказательство. Можно считать, что лежит в пространстве с . Так как полно, то искомым пополнением является замыкание множества в . Остается заметить, что если — некоторое пополнение , то и изометричны. Действительно, имеется изометрия между и всюду плотной частью в . По лемме эта изометрия продолжается до изометрии из на .