Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Существование пополнения/Доказательство

Пререквизиты:

Лемма. Пусть ${\textstyle (M_{1},d_{1})}$и ${\textstyle (M_{2},d_{2})}$ — полные метрические пространства, ${\textstyle E_{1}\subset M_{1}}$ и ${\textstyle E_{2}\subset M_{2}}$ — всюду плотные множества, и ${\textstyle J}$ — изометрия из ${\textstyle E_{1}}$ на ${\textstyle E_{2}}$. Тогда ${\textstyle J}$ продолжается единственным образом до изометрии ${\textstyle M_{1}}$ и ${\textstyle M_{2}}$.

Теорема. Всякое метрическое пространство ${\textstyle (M,d)}$ изометрично части пространства ${\textstyle B(M)}$.

Определение. ${\textstyle B(\Omega )}$ – множество ограниченных на ${\textstyle \Omega }$ функций.

Доказательство. Можно считать, что ${\textstyle M}$ лежит в пространстве ${\textstyle B(\Omega )}$ с ${\textstyle \Omega =M}$. Так как ${\textstyle B(M)}$ полно, то искомым пополнением является замыкание множества ${\textstyle M}$ в ${\textstyle B(\Omega )}$. Остается заметить, что если ${\textstyle M'}$ — некоторое пополнение ${\textstyle M}$, то ${\textstyle {\overline {M}}}$ и ${\textstyle M'}$ изометричны. Действительно, имеется изометрия ${\textstyle J'}$ между ${\textstyle M}$ и всюду плотной частью ${\textstyle J'(M)}$ в ${\textstyle M'}$. По лемме эта изометрия продолжается до изометрии из ${\textstyle M}$ на ${\textstyle M'}$.