К концу А однородного стержня АВ массы mi =2т и длины 2/, который может поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = 1 АВ), на невесомой нерастяжимой нити длины I подвешен грузик массы т. Конец В стержня прикреплён к неподвижному основанию пружиной жёсткости с (при горизонтальном положении стержня пружина не напряжена). Найти малые колебания системы в окрестности устойчивого положения равновесия.
T
=
17
+
i
l
c
t
+
π
y
n
+
1
{\displaystyle T=17+il_{ct}+\pi y_{n+1}}
Π
s
t
=
2
3
m
g
l
sin
φ
=
2
3
m
g
l
φ
{\displaystyle \Pi _{s}t={\frac {2}{3}}mgl\sin \varphi ={\frac {2}{3}}mgl\varphi }
Π
ω
=
−
2
3
m
g
l
sin
φ
−
m
p
l
e
o
s
ψ
=
−
2
3
m
g
P
φ
−
m
g
P
(
1
−
ψ
2
2
)
{\displaystyle \Pi _{\omega }=-{\frac {2}{3}}mgl\sin \varphi -mpleos\psi =-{\frac {2}{3}}mgP\varphi -mgP\left(1-{\frac {\psi ^{2}}{2}}\right)}
x
=
(
a
+
4
3
p
sin
φ
)
2
+
4
p
2
(
1
−
cos
φ
)
2
{\displaystyle x={\sqrt {\left(a+{\frac {4}{3}}p\sin \varphi \right)^{2}+4p^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}}}
Π
e
l
=
e
2
(
x
−
a
)
2
(
a
+
4
3
(
sin
φ
)
2
+
4
3
p
2
(
1
−
cos
φ
)
2
−
a
)
2
{\displaystyle \Pi _{e}l={\frac {e}{2}}(x-a)^{2}{\sqrt {\left(a+{\frac {4}{3}}(\sin \varphi )^{2}+{\frac {4}{3}}p^{2}(1-\cos \varphi )^{2}\right.}}-a)^{2}}
∂
Π
∂
ψ
=
m
e
p
s
i
n
ψ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \psi }}=mepsin\psi =0}
∂
Π
∂
φ
=
c
Δ
x
⋅
Δ
x
φ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \varphi }}=c\Delta x\cdot \Delta x_{\varphi }=0}
20
2
=
{\displaystyle 20^{2}=}
Γ
ω
=
m
2
(
4
9
p
2
φ
˙
2
+
P
2
ψ
˙
2
)
{\displaystyle \Gamma \omega ={\frac {m}{2}}\left({\frac {4}{9}}p^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+P^{2}{\dot {\psi }}^{2}\right)}
T
e
v
=
1
2
y
0
w
2
+
1
2
⋅
2
3
m
p
2
w
2
=
2
3
m
l
2
φ
˙
2
{\displaystyle T_{ev}={\frac {1}{2}}y_{0}w^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}mp^{2}w^{2}={\frac {2}{3}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}
L
=
2
3
m
e
2
φ
˙
2
+
m
2
(
y
g
l
2
φ
2
+
l
2
v
2
)
−
mg
e
ψ
2
2
−
16
9
e
e
2
φ
2
{\displaystyle L={\frac {2}{3}}me^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\frac {m}{2}}\left({\frac {y}{g}}l^{2}\varphi ^{2}+l^{2}v^{2}\right)-\operatorname {mg} {\frac {e\psi ^{2}}{2}}-{\frac {16}{9}}e^{e^{2}\varphi ^{2}}}
4
3
m
b
2
4
˙
+
16
9
e
P
2
φ
=
0
{\displaystyle {\frac {4}{3}}mb^{2}{\dot {4}}+{\frac {16}{9}}eP^{2}\varphi =0}
m
P
2
ψ
′
+
m
g
l
ψ
=
0
{\displaystyle mP^{2}\psi ^{\prime }+mgl\psi =0}
A
sin
(
4
c
3
m
t
+
a
1
)
{\displaystyle A\sin \left({\sqrt {{\frac {4c}{3m}}t}}+a_{1}\right)}
B
sin
(
g
q
e
+
a
2
)
{\displaystyle B\sin \left({\sqrt {\frac {gq}{e}}}+a_{2}\right)}
Три цилиндрические трубы с радиусами R0 = 3г, R1 = 2г, R2 = г вложены одна в другую, как показано на рисунке.
Внешняя труба радиуса R0 неподвижна, проскальзывание между трубами отсутствует, а их массы равны соответственно mi = 3т и т2 = т. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.
v
S
1
=
v
K
1
+
ω
1
×
K
1
S
1
→
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{1}}={\boldsymbol {v}}_{K_{1}}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times {\vec {K_{1}S_{1}}}}
v
S
1
=
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
e
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{1}}=\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
v
K
1
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{K_{1}}=0}
ω
1
=
θ
˙
e
x
{\displaystyle \omega _{1}={\dot {\theta }}e_{x}}
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
=
−
θ
˙
R
1
{\displaystyle \left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}=-{\dot {\theta }}R_{1}}
(
R
0
−
R
1
)
φ
+
R
1
θ
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \left(R_{0}-R_{1}\right)\varphi +R_{1}\theta =\mathrm {const} }
ω
1
=
−
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
R
1
e
x
{\displaystyle \omega _{1}=-{\frac {\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}}{R_{1}}}e_{x}}
V
=
m
1
g
z
S
1
+
m
2
g
z
S
2
=
=
−
m
1
g
(
R
0
−
R
1
)
cos
φ
−
m
2
g
(
(
R
0
−
R
1
)
cos
φ
+
(
R
1
−
R
2
)
cos
ψ
)
=
=
−
4
m
g
r
cos
φ
−
m
g
r
cos
ψ
{\displaystyle {\begin{array}{c}{V=m_{1}gz_{S_{1}}+m_{2}gz_{S_{2}}=}\\{=-m_{1}g\left(R_{0}-R_{1}\right)\cos \varphi -m_{2}g\left(\left(R_{0}-R_{1}\right)\cos \varphi +\left(R_{1}-R_{2}\right)\cos \psi \right)=}\\{=-4mgr\cos \varphi -mgr\cos \psi }\end{array}}}
∂
V
∂
φ
=
4
m
g
r
sin
φ
,
∂
V
∂
ψ
=
m
g
r
sin
ψ
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi }}=4mgr\sin \varphi ,\quad {\frac {\partial V}{\partial \psi }}=mgr\sin \psi }
{
sin
φ
=
0
sin
ψ
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\sin \varphi =0}\\{\sin \psi =0}\end{array}}\right.}
φ
=
0
,
ψ
=
0
;
φ
=
0
,
ψ
=
π
;
φ
=
π
,
ψ
=
0
;
φ
=
π
,
ψ
=
π
{\displaystyle \varphi =0,\psi =0;\quad \varphi =0,\psi =\pi ;\quad \varphi =\pi ,\psi =0;\quad \varphi =\pi ,\psi =\pi }
∂
2
V
∂
φ
2
=
4
m
g
r
cos
φ
,
∂
2
V
∂
φ
∂
ψ
=
0
,
∂
2
V
∂
ψ
2
=
m
g
r
cos
ψ
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=4mgr\cos \varphi ,\quad {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi \partial \psi }}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \psi ^{2}}}=mgr\cos \psi }
(
4
m
g
r
cos
φ
0
0
m
g
r
cos
ψ
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}{4mgr\cos \varphi }&{0}\\{0}&{mgr\cos \psi }\end{array}}\right)}
B
=
(
4
m
g
r
0
0
m
g
r
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\left({\begin{array}{cc}{4mgr}&{0}\\{0}&{mgr}\end{array}}\right)}
T
i
=
m
i
v
S
i
2
2
+
1
2
J
i
ω
i
2
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle T_{i}={\frac {m_{i}{\boldsymbol {v}}_{S_{i}}^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}J_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}^{2},\quad i=1,2}
T
1
=
m
1
(
R
0
−
R
1
)
2
φ
˙
2
2
+
1
2
m
1
R
1
2
(
−
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
R
1
)
2
=
3
m
r
2
φ
˙
2
{\displaystyle T_{1}={\frac {m_{1}\left(R_{0}-R_{1}\right)^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}m_{1}R_{1}^{2}\left(-{\frac {\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}}{R_{1}}}\right)^{2}=3mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}
v
S
2
Inep
=
v
S
1
=
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
e
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{2}}^{\text{ Inep }}={\boldsymbol {v}}_{S_{1}}=\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
v
S
2
o
r
n
=
(
R
1
−
R
2
)
ψ
˙
e
ψ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{2}}^{\mathrm {orn} }=\left(R_{1}-R_{2}\right){\dot {\psi }}{\boldsymbol {e}}_{\psi }}
v
S
2
=
v
S
2
o
r
H
+
v
S
2
n
e
p
=
(
R
1
−
R
2
)
ψ
˙
e
ψ
+
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
e
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{2}}={\boldsymbol {v}}_{S_{2}}^{\mathrm {orH} }+{\boldsymbol {v}}_{S_{2}}^{\mathrm {nep} }=\left(R_{1}-R_{2}\right){\dot {\psi }}{\boldsymbol {e}}_{\psi }+\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
v
S
2
|
φ
=
0
,
ψ
=
0
=
(
(
R
1
−
R
2
)
ψ
˙
+
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
)
e
φ
=
r
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
e
φ
{\displaystyle \left.{\boldsymbol {v}}_{S_{2}}\right|_{\varphi =0,\psi =0}=\left(\left(R_{1}-R_{2}\right){\dot {\psi }}+\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }=r({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}){\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
ω
1
o
r
n
=
ω
1
−
ω
I
e
p
=
ω
1
=
−
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
R
1
e
x
{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {orn} }=\omega _{1}-\omega ^{\mathrm {Iep} }=\omega _{1}=-{\frac {\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}}{R_{1}}}e_{x}}
v
K
2
o
r
n
=
ω
1
o
T
H
×
S
1
K
2
→
=
−
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
e
ψ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{K_{2}}^{\mathrm {orn} }={\boldsymbol {\omega }}_{1}^{\mathrm {oTH} }\times {\vec {S_{1}K_{2}}}=-\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}{\boldsymbol {e}}_{\psi }}
v
S
2
o
r
H
=
v
K
2
o
r
H
+
ω
2
o
r
H
×
K
2
S
2
→
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{S_{2}}^{\mathrm {orH} }={\boldsymbol {v}}_{K_{2}}^{\mathrm {orH} }+{\boldsymbol {\omega }}_{2}^{\mathrm {orH} }\times {\vec {K_{2}S_{2}}}}
ω
2
o
T
H
=
−
(
R
1
−
R
2
)
ψ
˙
+
(
R
0
−
R
1
)
φ
˙
R
2
e
x
=
−
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
e
x
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}^{\mathrm {oTH} }=-{\frac {\left(R_{1}-R_{2}\right){\dot {\psi }}+\left(R_{0}-R_{1}\right){\dot {\varphi }}}{R_{2}}}{\boldsymbol {e}}_{x}=-({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}){\boldsymbol {e}}_{x}}
ω
2
=
ω
2
O
T
H
+
ω
I
I
e
p
=
ω
2
o
T
H
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}={\boldsymbol {\omega }}_{2}^{\mathrm {OTH} }+{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {IIep} }={\boldsymbol {\omega }}_{2}^{\mathrm {oTH} }}
T
~
2
=
T
2
|
φ
=
0
,
ψ
=
0
=
1
2
m
r
2
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
2
+
1
2
m
r
2
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
2
=
m
r
2
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
2
{\displaystyle {\widetilde {T}}_{2}=\left.T_{2}\right|_{\varphi =0,\psi =0}={\frac {1}{2}}mr^{2}({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }})^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }})^{2}=mr^{2}({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }})^{2}}
T
~
=
T
1
+
T
~
2
=
3
m
r
2
φ
˙
2
+
m
r
2
(
ψ
˙
+
φ
˙
)
2
=
1
2
(
A
q
˙
,
q
˙
)
{\displaystyle {\widetilde {T}}=T_{1}+{\widetilde {T}}_{2}=3mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+mr^{2}({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }})^{2}={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}
A
=
(
8
m
r
2
2
m
r
2
2
m
r
2
2
m
r
2
)
,
q
=
(
φ
ψ
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left({\begin{array}{cc}{8mr^{2}}&{2mr^{2}}\\{2mr^{2}}&{2mr^{2}}\end{array}}\right),\quad {\boldsymbol {q}}=\left({\begin{array}{c}{\varphi }\\{\psi }\end{array}}\right)}
det
(
B
−
ν
2
A
)
=
|
4
m
g
r
−
8
m
r
2
ν
2
−
2
m
r
2
ν
2
−
2
m
r
2
ν
2
m
g
r
−
2
m
r
2
ν
2
|
=
0
{\displaystyle \operatorname {det} \left({\boldsymbol {B}}-\nu ^{2}{\boldsymbol {A}}\right)=\left|{\begin{array}{cc}{4mgr-8mr^{2}\nu ^{2}}&{-2mr^{2}\nu ^{2}}\\{-2mr^{2}\nu ^{2}}&{mgr-2mr^{2}\nu ^{2}}\end{array}}\right|=0}
4
(
m
g
r
−
2
m
r
2
ν
2
)
2
−
4
(
m
r
2
ν
2
)
2
=
0
{\displaystyle 4\left(mgr-2mr^{2}\nu ^{2}\right)^{2}-4\left(mr^{2}\nu ^{2}\right)^{2}=0}
ν
1
2
=
g
r
M
ν
2
2
=
g
3
r
{\displaystyle \nu _{1}^{2}={\frac {g}{r}}_{M}\nu _{2}^{2}={\frac {g}{3r}}}
(
−
4
m
g
r
−
2
m
g
r
−
2
m
g
r
−
m
g
r
)
(
u
11
u
12
)
=
0
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}{-4mgr}&{-2mgr}\\{-2mgr}&{-mgr}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{u_{11}}\\{u_{12}}\end{array}}\right)=0}
u
1
=
(
u
11
u
12
)
=
(
1
−
2
)
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1}=\left({\begin{array}{l}{u_{11}}\\{u_{12}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}{1}\\{-2}\end{array}}\right)}
(
4
m
g
r
3
−
2
m
g
r
3
−
2
m
g
r
3
m
g
r
3
)
(
u
21
u
22
)
=
0
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}{\frac {4mgr}{3}}&{-{\frac {2mgr}{3}}}\\{-{\frac {2mgr}{3}}}&{\frac {mgr}{3}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{u_{21}}\\{u_{22}}\end{array}}\right)=0}
u
2
=
(
u
21
u
22
)
=
(
1
2
)
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{2}=\left({\begin{array}{l}{u_{21}}\\{u_{22}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}}\right)}
(
φ
ψ
)
=
(
1
−
2
)
(
C
1
cos
g
r
t
+
C
2
sin
g
r
t
)
+
+
(
1
2
)
(
D
1
cos
g
3
r
t
+
D
2
sin
g
3
r
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{array}{r}{\varphi }\\{\psi }\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}{1}\\{-2}\end{array}}\right)\left(C_{1}\cos {\sqrt {\frac {g}{r}}}t+C_{2}\sin {\sqrt {\frac {g}{r}}}t\right)+\\&+\left({\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}}\right)\left(D_{1}\cos {\sqrt {\frac {g}{3r}}}t+D_{2}\sin {\sqrt {\frac {g}{3r}}}t\right)\end{aligned}}}
Стержень АВ массы тх подвешен за концы А и В к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а.
К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины b балка CD массы т 2 . Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. Массами нитей пренебречь.
V
=
−
m
1
g
10
cos
φ
−
m
2
g
(
a
cos
φ
+
b
sin
φ
)
{\displaystyle V=-m_{1}g_{10}\cos \varphi -m_{2}g(a\cos \varphi +b\sin \varphi )}
∂
V
∂
φ
=
m
A
g
a
sin
φ
+
m
2
g
α
sin
φ
[
y
=
0
φ
=
π
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \varphi }}=m_{A}ga\sin \varphi +m_{2}g\alpha \sin \varphi \quad \left[{\begin{array}{l}{y=0}\\{\varphi =\pi }\end{array}}\right.}
∂
V
∂
Ψ
=
m
2
g
b
sin
φ
[
ψ
=
0
ψ
=
π
{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \Psi }}=m_{2}gb\sin \varphi \quad \left[{\begin{array}{l}{\psi =0}\\{\psi =\pi }\end{array}}\right.}
∂
2
v
∂
φ
2
=
m
1
g
a
cos
φ
+
m
2
g
a
cos
φ
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varphi ^{2}}}=m_{1}ga\cos \varphi +m_{2}ga\cos \varphi }
∂
2
v
∂
ψ
2
=
m
2
g
b
cos
φ
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial \psi ^{2}}}=m_{2}gb\cos \varphi }
(
m
2
+
m
)
g
a
cos
φ
0
m
2
g
b
cos
φ
{\displaystyle {\begin{array}{c}{\left(m_{2}+m\right)ga\cos \varphi }\\{0}\end{array}}m_{2}gb\cos \varphi }
{
φ
=
0
ψ
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\varphi =0}\\{\psi =0}\end{array}}\right.}
B
=
(
(
m
1
+
m
2
)
g
a
0
0
m
2
b
)
{\displaystyle B=\left({\begin{array}{cc}{\left(m_{1}+m_{2}\right)ga}&{0}\\{0}&{m_{2}b}\end{array}})\right.}
T
=
1
2
m
1
φ
˙
a
2
2
+
1
2
m
2
(
a
φ
˙
+
k
y
˙
)
2
=
1
2
m
1
φ
˙
a
2
+
1
2
m
2
i
ρ
a
2
2
+
a
l
m
2
φ
˙
ψ
˙
+
1
2
m
2
ψ
˙
ℓ
2
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\varphi }}_{a^{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}(a{\dot {\varphi }}+k{\dot {y}})^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\varphi }}_{a}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}i\rho _{a^{2}}^{2}+alm_{2}{\dot {\varphi }}{\dot {\psi }}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\psi }}_{\ell }^{2}}
A
=
a
2
(
m
1
+
m
2
)
a
b
1
m
2
m
2
a
b
b
2
m
2
{\displaystyle A=a^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)ab_{1}m_{2}m_{2}abb^{2}m_{2}}
(
w
2
A
−
B
)
=
|
a
(
m
1
+
m
2
)
(
w
2
a
−
g
)
a
b
w
2
m
2
a
b
w
2
m
2
(
w
2
b
2
−
g
)
b
m
=
−
α
b
m
2
(
m
1
+
m
2
)
(
w
2
a
−
q
)
(
w
2
b
−
q
)
+
w
4
a
x
b
2
m
2
{\displaystyle \left(w^{2}A-B\right)=\left|{\begin{array}{cc}{a\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(w^{2}a-g\right)}&{abw^{2}m_{2}}\\{abw^{2}m_{2}}&{\left(w^{2}b^{2}-g\right)bm}\end{array}}\right.=-\alpha bm_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(w^{2}a-q\right)\left(w^{2}b-q\right)+w^{4}a^{x}b^{2}m^{2}}
(
m
1
+
m
2
)
(
a
g
+
log
)
{\displaystyle \left(m_{1}+m_{2}\right)(ag+\log )}
tab
m
,
w
4
−
(
m
1
+
m
2
)
(
a
+
b
)
g
ω
2
+
(
m
1
+
m
2
)
g
2
=
0
{\displaystyle \operatorname {tab} m,w^{4}-\left(m_{1}+m_{2}\right)(a+b)g\omega ^{2}+\left(m_{1}+m_{2}\right)g^{2}=0}
D
=
(
m
1
+
m
2
)
2
(
a
+
b
)
2
g
2
2
−
4
a
b
m
1
g
2
(
m
1
+
m
2
)
{\displaystyle D=\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}(a+b)^{2}g_{2}^{2}-4abm_{1}g^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}
D
=
(
m
1
+
m
2
)
g
2
(
(
a
+
b
)
2
(
m
1
+
m
2
)
−
400
m
1
)
{\displaystyle D=\left(m_{1}+m_{2}\right)g^{2}\left((a+b)^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)-400\mathrm {m} _{1}\right)}
2
=
g
(
m
1
+
m
2
)
(
a
+
b
)
2
m
2
+
(
a
−
b
)
2
m
1
)
{\displaystyle {\sqrt {2}}=g{\sqrt {\left(m_{1}+m_{2}\right)}}(a+b)^{2}m_{2}+(a-b)^{2}m_{1})}
w
1
,
2
2
=
(
m
1
+
m
2
)
(
a
+
b
)
g
t
g
(
m
1
+
m
2
)
(
a
+
b
)
2
m
2
+
(
a
−
b
)
2
m
1
)
2
a
b
m
1
{\displaystyle w_{1,2}^{2}={\frac {\left(m_{1}+m_{2}\right)(a+b)gtg{\sqrt {\left(m_{1}+m_{2}\right)}}(a+b)^{2}m_{2}+(a-b)^{2}m_{1})}{2abm_{1}}}}
Пренебрегая массой стержней, найти период малых колебаний маятника, изображённого на рисунке. Центр масс груза находится на продолжении шатуна шарнирного четырёхзвенника ОАВОх в точке С. В положении равновесия стержни ОА и ВС вертикальны, стержень Ох В горизонтален: ОА = АВ = а, АС = s.
A
=
(
asin
φ
;
a
cos
ϕ
)
{\displaystyle A=(\operatorname {asin} \varphi ;a\cos \phi )}
B
=
(
ℓ
−
lcos
ψ
;
2
a
−
C
sin
ψ
)
{\displaystyle B=(\ell -\operatorname {lcos} \psi ;2a-C\sin \psi )}
13
A
→
=
(
asin
φ
−
ℓ
+
los
φ
;
acos
φ
−
2
a
+
csin
ψ
)
{\displaystyle 13{\vec {A}}=(\operatorname {asin} \varphi -\ell +\operatorname {los} \varphi ;\operatorname {acos} \varphi -2a+\operatorname {csin} \psi )}
A
C
=
sin
φ
−
e
c
1
s
+
e
a
scos
ψ
;
sin
φ
−
25
+
e
g
2
sin
y
)
{\displaystyle AC=\sin \varphi -{\frac {e}{c_{1}}}s+{\frac {e}{a}}\operatorname {scos} \psi ;\sin \varphi -25+{\frac {e}{g_{2}}}\sin y)}
C
=
(
(
a
+
s
)
sin
φ
−
2
s
9
+
e
a
scos
ψ
;
(
a
+
s
)
cos
φ
−
28
+
a
sin
ψ
)
{\displaystyle C=((a+s)\sin \varphi -{\frac {2s}{9}}+{\frac {e}{a}}\operatorname {scos} \psi ;(a+s)\cos \varphi -28+a\sin \psi )}
|
R
A
→
}
2
=
a
2
{\displaystyle |{\vec {RA}}\}^{2}=a^{2}}
3
A
2
=
a
2
sin
2
4
f
2
(
cos
2
y
)
−
2
a
lsing
+
2
a
lsin
φ
cos
ψ
−
2
(
2
2
cos
y
)
+
a
2
cos
3
φ
+
4
a
2
+
(
(
sin
2
y
)
−
4
a
2
cos
φ
+
2
a
C
cos
φ
sin
φ
−
4
a
(
sin
y
=
a
2
{\displaystyle 3A^{2}=a^{2}\sin ^{2}4f^{2}{\sqrt {\left(\cos ^{2}y\right)}}-2a{\text{ lsing }}+2a\operatorname {lsin} \varphi \cos \psi -2\left(2^{2}\cos y\right)+a^{2}\cos ^{3}\varphi +4a^{2}+\left(\left(\sin ^{2}y\right)\right.-4a^{2}\cos \varphi +2aC\cos \varphi \sin \varphi -4a(\sin y=a^{2}}
e
2
−
e
2
cos
y
−
a
ls
φ
(
1
−
cos
ψ
)
+
2
a
2
−
2
a
2
cos
φ
talus ysiny
−
2
a
l
siny
=
0
{\displaystyle e^{2}-e^{2}\cos y-a\operatorname {ls} \varphi (1-\cos \psi )+2a^{2}-2a^{2}\cos \varphi {\text{ talus ysiny }}-2a\mathrm {l} {\text{ siny }}=0}
v
=
m
g
y
⋅
(
4
)
=
m
g
[
(
a
+
5
)
cos
φ
−
2
s
+
e
s
d
sin
ψ
)
]
{\displaystyle v=mgy\cdot (4)=mg[(a+5)\cos \varphi -2s+{\frac {es}{d}}\sin \psi )]}
∂
v
∂
y
=
m
g
[
−
(
a
+
s
)
sin
φ
+
e
a
cos
ψ
∂
ψ
∂
φ
]
{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}=mg[-(a+s)\sin \varphi +{\frac {e}{a}}\cos \psi {\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}]}
∂
2
u
∂
φ
2
=
m
g
[
−
(
a
+
5
)
cos
φ
−
ln
a
sin
ψ
(
∂
ψ
∂
φ
)
2
+
e
3
9
cos
∂
2
ψ
∂
φ
2
]
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=mg[-(a+5)\cos \varphi -{\frac {\ln }{a}}\sin \psi \left({\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}\right)^{2}+{\frac {e_{3}}{9}}\cos {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}]}
∂
2
v
∂
φ
2
|
φ
=
0
{\displaystyle \left.{\begin{array}{r }{\partial ^{2}v}\\{\partial \varphi ^{2}}\end{array}}\right|_{\varphi =0}}
m
g
[
−
(
a
+
s
)
+
e
s
∂
2
ψ
∂
y
2
]
{\displaystyle mg\left[-(a+s)+{\frac {es\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right]}
ЧТО-ТО ОЧЕНЬ ДЛИННО. ЭТО ВООБЩЕ ОПРАВДАНО?*
T
=
2
π
a
+
5
g
(
s
−
a
)
{\displaystyle T=2\pi {\frac {a+5}{\sqrt {g(s-a)}}}}
На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса R положен призматический брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси цилиндра.
Длина бруска 2/, высота 2а. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жёсткости с. Предполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колебаний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен J 0 .
T
=
11
v
2
2
+
7
,
w
2
2
=
1
2
(
M
v
ε
2
+
y
0
x
2
)
{\displaystyle T={\frac {11v^{2}}{2}}+{\frac {7,w^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}(Mv_{\varepsilon }^{2}+y_{0}x^{2})}
v
c
=
200
=
α
x
2
p
2
+
a
2
{\displaystyle v_{c}=200=\alpha {\sqrt {x^{2}p^{2}+a^{2}}}}
T
=
1
2
(
11
α
2
(
x
2
x
2
+
a
2
)
+
γ
0
α
2
)
=
1
2
(
ln
(
x
2
+
a
2
)
+
y
0
)
d
x
2
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}(11\alpha ^{2}\left(x^{2}x^{2}+a^{2}\right)+\gamma _{0}\alpha ^{2})={\frac {1}{2}}\left(\ln \left(x^{2}+a^{2}\right)+y_{0}\right)dx^{2}}
f
(
α
)
=
M
(
α
2
R
2
+
a
2
)
+
V
0
{\displaystyle f(\alpha )=M\left(\alpha ^{2}R^{2}+a^{2}\right)+V_{0}}
A
=
A
(
0
)
=
M
a
2
+
y
0
{\displaystyle A=A(0)=Ma^{2}+y_{0}}
V
=
−
lng
(
R
+
a
−
k
(
α
)
)
+
cot
2
{\displaystyle V=-\operatorname {lng} (R+a-k(\alpha ))+\cot ^{2}}
H
=
2
cos
α
+
(
R
α
+
e
)
sin
α
{\displaystyle H=2\cos \alpha +(R\alpha +e)\sin \alpha }
y
=
(
12
x
+
2
)
cos
x
−
2
sin
x
{\displaystyle y=(12x+2)\cos x-2\sin x}
Θ
=
l
−
S
=
l
−
(
2
x
+
e
)
cos
x
+
A
sin
α
{\displaystyle \Theta =l-S=l-(2x+e)\cos x+A\sin \alpha }
Δ
x
=
A
2
+
Q
2
−
R
=
(
2
cos
α
+
(
R
α
+
ℓ
)
sin
α
)
2
+
(
l
−
(
2
x
+
e
)
cos
x
+
A
sin
α
)
2
−
R
{\displaystyle \Delta x={\sqrt {A^{2}+Q^{2}-R}}={\sqrt {(2\cos \alpha +(R\alpha +\ell )\sin \alpha )^{2}+(l-(2x+e)\cos x+A\sin \alpha )^{2}}}-R}
h
(
α
)
=
(
R
+
a
)
cos
α
+
R
α
sin
α
{\displaystyle h(\alpha )=(R+a)\cos \alpha +R\alpha \sin \alpha }
V
=
−
m
g
(
−
(
R
+
a
)
cos
α
−
Rosin
α
+
R
+
a
)
+
c
(
Reosox
+
(
2
x
+
2
)
=
sin
x
)
2
+
(
l
−
(
2
x
+
e
)
cos
x
+
A
sin
α
)
2
{\displaystyle V=-mg(-(R+a)\cos \alpha -\operatorname {Rosin} \alpha +R+a)+c{\sqrt {({\text{ Reosox }}+(2x+2)=\sin x)^{2}+(l-(2x+e)\cos x+A\sin \alpha )^{2}}}}
∂
2
v
∂
x
2
/
x
=
0
=
mg
(
R
−
a
)
+
2
c
e
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}/x=0=\operatorname {mg} (R-a)+2ce^{2}}
А это очень похоже на подвешенную на транспортёре деталь. Надо выбрать режим движения так, чтобы она не улетела.
Есть такая задача в практикуме
Первое сравнение "обычного" метода и метода Гамильтона-Якоби.
![{\displaystyle v=mgy\cdot (4)=mg[(a+5)\cos \varphi -2s+{\frac {es}{d}}\sin \psi )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd28cca38b55398dec0ee3318e96916c907731c)
![{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}=mg[-(a+s)\sin \varphi +{\frac {e}{a}}\cos \psi {\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2260d378a33d9b5b6528ab0c1b8a0bdc31e400)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=mg[-(a+5)\cos \varphi -{\frac {\ln }{a}}\sin \psi \left({\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}\right)^{2}+{\frac {e_{3}}{9}}\cos {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66af1b0772d4e0097c73967c95976d3fe02d7497)
![{\displaystyle mg\left[-(a+s)+{\frac {es\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf9f9b88787874e715cc50981d922ceefd598cb)
