Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Интеграл Лебега/Для простых функций/Монотонность и линейность

Теорема. Пусть $\varphi$ и $\psi$ - простые функции, $c\in \mathbb {R}$, $E=E_{1}\cup E_{2}$, $E_{1}$ и $E_{2}$ - измеримые непересекающиеся множества. Выполняются следующие свойства:

1. $\int _{E}c\varphi (x)dx=c\int _{E}\varphi (x)dx$
2. $\int _{E}(\varphi (x)+\psi (x))dx=\int _{E}\varphi (x)dx+\int _{E}\psi (x)dx$
3. Если $\varphi (x)\leq \psi (x)$ для любого $x\in E$, тогда $\int _{E}\phi (x)dx\leq \int _{E}\psi (x)dx$ и
4. $\int _{E}\phi (x)dx=\int _{E_{1}}\phi (x)dx+\int _{E_{2}}\phi (x)dx$

См. также

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Интеграл Лебега/Для простых функций/Монотонность и линейность/Доказательство