Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Лемма о монотонной последовательности простых функций/Доказательство

Любая ограниченная возрастающая последовательность сходится. Покажем, что множество $U$ таких $x\in E$, для которых $\left(\phi _{n}(x)\right)_{n=1}^{\infty }$ неограничены, имеет меру нуль.

Пусть $\varepsilon >0$,

$E_{n}=\left\{x\in E|\phi _{n}(x)>A/\varepsilon \right\}$

Так как $\varphi _{n}$ неотрицательны,

${\frac {A}{\varepsilon }}m\left(E_{n}\right)\leq \int _{E_{n}}\phi _{n}(x)dx\leq \int _{E}\phi _{n}(x)dx<A$

Следовательно, $m\left(E_{n}\right)<\epsilon$. Так как $\{\varphi _{n}\}$ монотонно возрастает, $E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq \cdots$, и $U$ содержится в объединении $E_{n}$. Значит,

$m(U)\leq m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }m\left(E_{n}\right)\leq \epsilon$