Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Мера Лебега

Пусть $I$ – отрезок в $\mathbb {R} ^{1}$, ${\mathcal {A}}$ – алгебра конечных объединений промежутков из $I$ (замкнутых, открытых, закрытых). Тогда обычная длина $\lambda _{1}$, равная сумме чисел $b_{i}-a_{i}$ на конечном дизъюнктном объединении промежутков с концами $a_{i}$ и $b_{i}$, счётно-аддитивна на алгебре ${\mathcal {A}}$. $\lambda _{1}$ называется мерой Лебега на прямой.

Продолжение меры Лебега

Пусть $S\subseteq [a,b]$. Если внешняя и внутренняя меры Лебега множества $S$ совпадают, то говорят, что $S$ измеримо по Лебегу, и его мера определяется как

$\mu (S)=\mu _{e}(S)=\mu _{i}(S)$