Теорема. Пусть - последовательность измеримых функций, почти всюду на , тогда - измеримая функция.
Любое множество внешней меры нуль измеримо[1], значит, любое подмножество множества нулевой меры тоже имеет меру нуль.
Существует множество меры нуль такое, что
для любого , где . Выберем некоторое , тогда множества
не обязательно совпадают, но любой элемент, который есть в одном, но нет в другом, должен быть в .
Пусть . измеримо[2]. и - подмножества , значит, они тоже измеримы. [3], значит, измеримо.
- ↑ Ссылка на теорему 5.5
- ↑ Ссылка на предложение 6.4
- ↑ Ссылка на упражнение 1.2.14