Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости

Теорема. Пусть $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ - монотонно возрастающая последовательность неотрицательных измеримых функций. Если существует конечное $A$, для которого $\int _{E}f_{n}(x)dx<A$ для любого $n$, тогда $f_{n}$ сходится к ограниченной функции $f$ почти всюду, $f$ интегрируема, и

$\int _{E}f(x)dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}(x)dx$

См. также

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости/Доказательство