Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Бэра

Теорема. (Бэр, о категории) Если ${\textstyle X}$ — полное метрическое пространство, причем ${\textstyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}}$, где множества ${\textstyle X_{n}}$ замкнуты, то хотя бы одно из них содержит открытый шар некоторого положительного радиуса.

Если ${\textstyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$, где ${\textstyle A_{n}}$ — произвольные множества, то хотя бы одно из ${\textstyle A_{n}}$ всюду плотно в некотором шаре ненулевого радиуса, т. е. полное метрическое пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

См. также

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Бэра/Доказательство