Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Теорема Бэра/Доказательство

Предположим противное. Тогда для всякого ${\textstyle n}$ во всяком открытом шаре ${\textstyle U}$ имеется открытый шар, свободный от точек ${\textstyle X_{n}}$, ибо иначе ${\textstyle U}$ входит в ${\textstyle {\overline {X_{n}}}=X_{n}}$. Поэтому найдется замкнутый шар ${\textstyle B_{1}}$ положительного радиуса ${\textstyle r_{1}}$, свободный от точек ${\textstyle X_{1}}$. В шаре ${\textstyle B_{1}}$ найдется замкнутый шар ${\textstyle B_{2}}$ радиуса ${\textstyle r_{2}<{\frac {r_{1}}{2}}}$, свободный от точек ${\textstyle X_{2}}$. По индукции получаем вложенные замкнутые шары ${\textstyle B_{n}}$ со стремящимися к нулю радиусами и ${\textstyle B_{n}\cap X_{n}=\varnothing }$. Предыдущая теорема дает общую точку всех ${\textstyle B_{n}}$, не входящую в объединение ${\textstyle X_{n}}$, — противоречие. Последнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемого к замыканиям ${\textstyle A_{n}}$.